Tính tích phân : I = $\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}$ $\frac{sin(x-\frac{\pi }{4})dx}{sin2x+2(1+sinx+cosx)}$ .

Câu 13840: Tính tích phân : I = $\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}$ $\frac{sin(x-\frac{\pi }{4})dx}{sin2x+2(1+sinx+cosx)}$ .

A. I = $\frac{-4-3\sqrt{2}}{4}$ .

B. I = $\frac{-4+3\sqrt{2}}{4}$ .

C. I = $\frac{4-3\sqrt{2}}{4}$ .

D. I = $\frac{4+3\sqrt{2}}{4}$ .

Câu hỏi : 13840

Quảng cáo

Đáp án : C
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Viết lại I dưới dạng :

I = $\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}$ $\frac{(sinx-cosx).dx}{(1+sin2x)+2(sinx+cosx)+1}$

= $\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}$ $\frac{(sinx-cosx).dx}{(sinx+cosx)^{2}+2(sinx+cosx)+1}$

= $\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}$ $\frac{(sinx-cosx).dx}{(sinx+cosx+1)^{2}}$

Đặt t = sinx + cosx + 1, suy ra: dt = (cosx – sinx)dx ⇔(sinx – cosx)dx = -dt.

Đổi cận:

+ Với x = 0 thì t = 2.

+ Với x = $\frac{\pi }{4}$ thì t = √2 +1.

Khi đó: I = - $\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\int_{2}^{\sqrt{2}+1}$ $\frac{dt}{t^{2}}$ = $\frac{\sqrt{2}}{2t}$ $\begin{vmatrix}\sqrt{2}+1\\2\end{vmatrix}$ = $\frac{4-3\sqrt{2}}{4}$ .

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.