Một sợi dây không dãn dài 1 mét được cắt thành hai đoạn. Đoạn thứ nhất được cuốn thành đường tròn, đoạn thứ hai được cuốn thành hình vuông. Tính tỉ só độ dài đoạn thứ nhất trên độ dài đoạn thứ hai khi tổng diện tích của hình tròn và hình vuông là nhỏ nhất.

Câu 211778: Một sợi dây không dãn dài 1 mét được cắt thành hai đoạn. Đoạn thứ nhất được cuốn thành đường tròn, đoạn thứ hai được cuốn thành hình vuông. Tính tỉ só độ dài đoạn thứ nhất trên độ dài đoạn thứ hai khi tổng diện tích của hình tròn và hình vuông là nhỏ nhất.

A. \(\frac{\pi }{\pi +4}.\)

B. \(\frac{4}{\pi }.\)

C. \(1.\)

D. \(\frac{\pi }{4}.\)

Câu hỏi : 211778

Quảng cáo

Đáp án : D
(4) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Phương pháp:

- Công thức tính diện tích và chu vi hình tròn: \(S=\pi {{R}^{2}},C=2\pi R\).

- Công thức tính diện tích và chu vi hình vuông: \(S={{a}^{2}},C=4a\).

Cách giải:

Gọi chiều dài đoạn uốn thành hình vuông là \(x\) mét thì chiều dài đoạn uốn thành hình tròn là \(1-x\) mét.

Cạnh hình vuông là \(\frac{x}{4}\) nên diện tích hình vuông là \(\frac{{{x}^{2}}}{16}\).

Bán kính hình tròn là \(\frac{1-x}{2\pi }\) nên diện tích hình tròn là \(\pi .{{\left( \frac{1-x}{2\pi } \right)}^{2}}=\frac{{{\left( 1-x \right)}^{2}}}{4\pi }\).

Xét hàm \(f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}}{16}+\frac{{{\left( 1-x \right)}^{2}}}{4\pi }\) có \(f'\left( x \right)=\frac{x}{8}+\frac{x-1}{2\pi }=0\Leftrightarrow x=\frac{4}{\pi +4}\).

Do đó \(f\left( x \right)\) đạt GTNN tại \(x=\frac{4}{\pi +4}\Rightarrow 1-x=1-\frac{4}{\pi +4}=\frac{\pi }{\pi +4}\).

Vậy tỉ số đoạn thứ nhất nhất và đoạn thứ hai là \(\frac{\pi }{{\pi + 4}}:\frac{4}{{\pi + 4}} = \frac{\pi }{4}\)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.