Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số $y={{x}^{4}}-2m{{x}^{2}}+2{{m}^{2}}-m$ có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông cân?

Câu 211806: Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số $y={{x}^{4}}-2m{{x}^{2}}+2{{m}^{2}}-m$ có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông cân?

A. Không có

B. 1

C. Vô số

D. 2

Câu hỏi : 211806

Quảng cáo

Phương pháp giải:

Để hàm số bậc bốn $y={{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c$ có 3 cực trị thì phương trình y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt. Và khi hàm số trên có ba cực trị thì ba cực trị đó luôn tạo thành một tam giác cân.

Đáp án : B
(3) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Ta có:

$y' = 4{x^3} - 4mx = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = m\end{array} \right.$

Để phương trình y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow m>0$.

$ \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow y = 2{m^2} - m \Rightarrow A\left( {0;2{m^2} - m} \right)\\x = \sqrt m \Rightarrow y = {m^2} - m \Rightarrow B\left( {\sqrt m ;{m^2} - m} \right)\\x = - \sqrt m \Rightarrow y = {m^2} - m \Rightarrow C\left( { - \sqrt m ;{m^2} - m} \right)\end{array} \right.$

Ta có tam giác ABC luôn là tam giác cân tại A nên để ABC là tam giác vuông cân thì ta cần thêm điều kiện tam giác ABC vuông tại A.

$\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0\\\overrightarrow {AB} = \left( {\sqrt m ; - {m^2}} \right)\,;\,\overrightarrow {AC} = \left( { - \sqrt m ; - {m^2}} \right)\\ \Rightarrow - m + {m^4} = 0 \Leftrightarrow m\left( {{m^3} - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\,\,\left( {ktm} \right)\\m = 1\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}$

Vậy m = 1.

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.