Cho (P): \(y = {x^2} + 2x - 3\) và \(d:y = m\left( {x - 4} \right) - 2.\)

Tìm m để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt \(A\left( {{x_1},{y_1}} \right),B\left( {{x_2},{y_2}} \right)\) sao cho biểu thức \(P = 2\left( {x_1^2 + x_2^2} \right) + 9{x_1}{x_2} + 2014\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu 217457: Cho (P): \(y = {x^2} + 2x - 3\) và \(d:y = m\left( {x - 4} \right) - 2.\)

Tìm m để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt \(A\left( {{x_1},{y_1}} \right),B\left( {{x_2},{y_2}} \right)\) sao cho biểu thức \(P = 2\left( {x_1^2 + x_2^2} \right) + 9{x_1}{x_2} + 2014\) đạt giá trị nhỏ nhất.

A. \(m < 10 - 2\sqrt {23} ,m > 10 + 2\sqrt {23} \)

B. \(m > 10 - 2\sqrt {23} \)

C. \(m > - 3\)

D. \(m = - 3.\)

Câu hỏi : 217457

Phương pháp giải:

- Để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt ta xét phương trình hoành độ giao điểm và tìm điều kiện để phương trình hoành độ giao điểm có hai nghiệm phân biệt. \(\left( {a \ne 0,\Delta > 0} \right)\).

- Khi phương trình bậc hai có 2 nghiệm phân biệt, áp dụng hệ thức Vi-et:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a}\\{x_1}{x_2} = \frac{c}{a}\end{array} \right.\).

- Biến đổi biểu thức P để áp dụng được hệ thức Vi-et: \(x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2}.\)

- Đưa biểu thức P về dạng chỉ chứa ẩn m, lập BBT để tìm GTLN, GTNN (nếu có) của hàm số.

Đáp án : D
(1) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Xét phương trình hoành độ giao điểm \({x^2} + 2x - 3 = m\left( {x - 4} \right) - 2 \Leftrightarrow {x^2} + \left( {2 - m} \right)x + 4m - 1 = 0\,\,\left( * \right)\)

Để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt ta xét phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 \ne 0\\{\left( {2 - m} \right)^2} - 4\left( {4m - 1} \right) > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow {m^2} - 20m + 8 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 10 + 2\sqrt {23} \\m < 10 - 2\sqrt {23} \end{array} \right.\)

Gọi là 2 nghiệm của phương trình (*).

Khi đó áp dụng hệ thức Vi-et ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a} = m - 2\\{x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = \frac{8}{1} = 4m - 1\end{array} \right.\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}P = 2\left( {x_1^2 + x_2^2} \right) + 9{x_1}{x_2} + 2014\\ = 2\left( {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}} \right) + 9{x_1}{x_2} + 2014\\ = 2\left( {{{\left( {m - 2} \right)}^2} - 2\left( {4m - 1} \right)} \right) + 9\left( {4m - 1} \right) + 2014\\ = 2\left( {{m^2} - 4m + 4 - 8m + 2} \right) + 36m - 9 + 2014\\ = 2{m^2} + 12m + 2017 = f\left( m \right)\end{array}\)

Lập BBT:

Ta thấy hàm số f(m) đạt GTNN tại \(m = - 3\) thoả mãn \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m > 10 + 2\sqrt {23} }\\{m < 10 - 2\sqrt {23} }\end{array}} \right.\)

Vậy với \(m = - 3\) thì P có GTNN.

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây