Nguyên hàm của hàm số \(I = \int {\cos 2x\ln \left( {\sin x + \cos x} \right)dx} \) là:
Câu 218760: Nguyên hàm của hàm số \(I = \int {\cos 2x\ln \left( {\sin x + \cos x} \right)dx} \) là:
A. \(I = {1 \over 2}\left( {1 + \sin 2x} \right)\ln \left( {1 + \sin 2x} \right) - {1 \over 4}\sin 2x + C\)
B. \(I = {1 \over 4}\left( {1 + \sin 2x} \right)\ln \left( {1 + \sin 2x} \right) - {1 \over 2}\sin 2x + C\)
C. \(I = {1 \over 4}\left( {1 + \sin 2x} \right)\ln \left( {1 + \sin 2x} \right) - {1 \over 4}\sin 2x + C\)
D. \(I = {1 \over 4}\left( {1 + \sin 2x} \right)\ln \left( {1 + \sin 2x} \right) + {1 \over 4}\sin 2x + C\)
Dùng công thức nhân đôi \(\cos 2x = {\cos ^2}x - {\sin ^2}x = \left( {\cos x - \sin x} \right)\left( {\cos x + \sin x} \right)\), bằng cách đặt ẩn phụ \(t = \sin x + \cos x\) ta đưa nguyên hàm ban đầu về dạng đơn giản hơn, sau đó áp dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần. Lưu ý khi trong nguyên hàm có hàm ln và hàm đa thức ta ưu tiên đặt u bằng hàm ln.
-
Đáp án : C(30) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Ta có:
\(\eqalign{ & \cos 2x\ln \left( {\sin x + \cos x} \right) = \left( {\cos x + \sin x} \right)\left( {\cos x - \sin x} \right)\ln \left( {\sin x + \cos x} \right) \cr & \Rightarrow I = \int {\left( {\cos x + \sin x} \right)\left( {\cos x - \sin x} \right)\ln \left( {\sin x + \cos x} \right)dx} \cr} \).
Đặt \(t = \sin x + \cos x \Rightarrow dt = \left( {\cos x - \sin x} \right)dx\) , khi đó ta có:\(I = \int {t\ln tdt} \)
Đặt
\(\eqalign{ & \left\{ \matrix{ u = \ln t \hfill \cr dv = tdt \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ du = {1 \over t}dt \hfill \cr v = {{{t^2}} \over 2} \hfill \cr} \right. \cr & \Rightarrow I = {1 \over 2}{t^2}\ln t - {1 \over 2}\int {tdt} + C = {1 \over 2}{t^2}\ln t - {{{t^2}} \over 4} + {C_1} \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\, = {1 \over 2}{\left( {\sin x + \cos x} \right)^2}\ln \left( {\sin x + \cos x} \right) - {{{{\left( {\sin x + \cos x} \right)}^2}} \over 4} + {C_1} \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\, = {1 \over 2}\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x + \sin 2x} \right)\ln \left( {\sin x + \cos x} \right) - {{1 + \sin 2x} \over 4} + {C_1} \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\, = {1 \over 4}\left( {1 + \sin 2x} \right)\ln {\left( {\sin x + \cos x} \right)^2} - {{\sin 2x} \over 4} - {1 \over 4} + {C_1} \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\, = {1 \over 4}\left( {1 + \sin 2x} \right)\ln \left( {1 + \sin 2x} \right) - {{\sin 2x} \over 4} + C. \cr} \).
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com