Tìm hàm số F(x) của \(f\left( x \right) = {{{2^x} - 1} \over {{e^x}}}\) biết F(0) = 1.
Câu 218767: Tìm hàm số F(x) của \(f\left( x \right) = {{{2^x} - 1} \over {{e^x}}}\) biết F(0) = 1.
A. \(F\left( x \right) = {{{2^x} + \ln 2 - 1} \over {{e^x}\left( {\ln 2 - 1} \right)}}\)
B. \(F\left( x \right) = {1 \over {\ln 2 - 1}}{\left( {{2 \over e}} \right)^x} + {\left( {{1 \over e}} \right)^x} - {1 \over {\ln 2 - 1}}\)
C. \(F\left( x \right) = {{{2^x} + \ln 2} \over {{e^x}\left( {\ln 2 - 1} \right)}}\)
D. \(F\left( x \right) = {\left( {{2 \over e}} \right)^x}\)
Quảng cáo
Tách nguyên hàm ban đầu thành \(F\left( x \right) = \int {{{{2^x} - 1} \over {{e^x}}}dx} = \int {\left( {{2^x} - 1} \right){e^{ - x}}dx} = \int {{2^x}{e^{ - x}}dx} - \int {{e^{ - x}}dx} .\)
Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần để tính nguyên hàm thứ nhất, bằng cách đặt \(\left\{ \matrix{ u = {2^x} \hfill \cr dv = {e^{ - x}}dx \hfill \cr} \right.\), lưu ý đây là nguyên hàm quay đầu.
-
Đáp án : B(15) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
\(F\left( x \right) = \int {{{{2^x} - 1} \over {{e^x}}}dx} = \int {\left( {{2^x} - 1} \right){e^{ - x}}dx} = \int {{2^x}{e^{ - x}}dx} - \int {{e^{ - x}}dx} = \int {{2^x}{e^{ - x}}dx} + {e^{ - x}} + {C_1} = I + {e^{ - x}} + {C_1}.\)
Đặt
\(\eqalign{ & \left\{ \matrix{ u = {2^x} \hfill \cr dv = {e^{ - x}}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ du = {2^x}\ln 2dx \hfill \cr v = - {e^{ - x}} \hfill \cr} \right. \cr & \Rightarrow I = - {2^x}{e^{ - x}} + \ln 2\int {{2^x}{e^{ - x}}dx} + {C_2} = - {2^x}{e^{ - x}} + \ln 2.I + {C_2} \Leftrightarrow \left( {\ln 2 - 1} \right)I + {C_2} = {2^x}{e^{ - x}} \Rightarrow I = {{{2^x}{e^{ - x}}} \over {\ln 2 - 1}} + {C_2}. \cr & \Rightarrow F\left( x \right) = {{{2^x}{e^{ - x}}} \over {\ln 2 - 1}} + {e^{ - x}} + C = {{{2^x}} \over {\left( {\ln 2 - 1} \right){e^x}}} + {1 \over {{e^x}}} + C \cr & \Rightarrow F\left( 0 \right) = {1 \over {\ln 2 - 1}} + 1 + C = 1 \Rightarrow C = - {1 \over {\ln 2 - 1}} \cr & \Rightarrow F\left( x \right) = {{{2^x}} \over {\left( {\ln 2 - 1} \right){e^x}}} + {1 \over {{e^x}}} - {1 \over {\ln 2 - 1}} = {1 \over {\ln 2 - 1}}{\left( {{2 \over e}} \right)^x} + {\left( {{1 \over e}} \right)^x} - {1 \over {\ln 2 - 1}}. \cr} \)
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
