Cho dãy số \(\left( {{a_n}} \right)\) xác định bởi \({a_1} = 1\) và \({a_{n + 1}} = - {3 \over 2}a_n^2 + {5 \over 2}{a_n} + 1,\,\,\forall n \in N*.\) Mệnh đề nào dưới đây là đúng ?

Câu 221338: Cho dãy số \(\left( {{a_n}} \right)\) xác định bởi \({a_1} = 1\) và \({a_{n + 1}} = - {3 \over 2}a_n^2 + {5 \over 2}{a_n} + 1,\,\,\forall n \in N*.\) Mệnh đề nào dưới đây là đúng ?

A. \({a_{2018}} = {a_2}\)

B. \({a_{2018}} = {a_1}\)

C. \({a_{2018}} = {a_3}\)

D. \({a_{2018}} = {a_4}\)

Câu hỏi : 221338

Quảng cáo

Phương pháp giải:

Đây là dãy số có tính chất tuần hoàn, xác định tính chất tuần hoàn đó và suy ra đáp án.

Đáp án : A
(10) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Sáu số hạng đầu tiên của dãy số đó là

\(\eqalign{ & {a_1} = 1 \cr & {a_2} = - {3 \over 2} + {5 \over 2} + 1 = 2 \cr & {a_3} = - {3 \over 2}.4 + {5 \over 2}.2 + 1 = 0 \cr & {a_4} = - {3 \over 2}.0 + {5 \over 2}.0 + 1 = 1 \cr & {a_5} = - {3 \over 2} + {5 \over 2} + 1 = 2 \cr & {a_6} = - {3 \over 2}.4 + {5 \over 2}.2 + 1 = 0 \cr} \)

Ta thấy cứ sau 3 số hạng, dãy số trên sẽ bị lặp lại, do đó ta dự đoán \({a_{n + 3}} = {a_n}\,\,\forall n \ge 1\)

Chứng minh khẳng định trên bằng phương pháp quy nạp toán học :

Đẳng thức đúng với n = 1, \({a_1} = {a_4} = 1\).

Giả sử đẳng thức đúng với n = k, tức là \({a_{k + 3}} = {a_k}\), ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, tức là cần chứng minh \({a_{k + 4}} = {a_{k + 1}}\)

Ta có :

\(\eqalign{ & {a_{k + 4}} = - {3 \over 2}a_{k + 3}^2 + {5 \over 2}{a_{k + 3}} + 1 \cr & {a_{k + 1}} = - {3 \over 2}a_k^2 + {5 \over 2}{a_k} + 1 \cr} \)

Mà \({a_{k + 3}} = {a_k} \Rightarrow {a_{k + 4}} = {a_{k + 1}}\), vậy \({a_{n + 3}} = {a_n}\,\,\forall n \ge 1\).

Ta lại có 2018 = 3.672 + 2. Từ đó suy ra \({a_{2018}} = {a_2}\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.