Cho x, y thỏa mãn \(x-2y+2=0\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(T=\sqrt{{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-5 \right)}^{2}}}+\sqrt{{{\left( x-5 \right)}^{2}}+{{\left( y-7 \right)}^{2}}}\)

Câu 241549: Cho x, y thỏa mãn \(x-2y+2=0\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(T=\sqrt{{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-5 \right)}^{2}}}+\sqrt{{{\left( x-5 \right)}^{2}}+{{\left( y-7 \right)}^{2}}}\)

A. 6

B. 5

C. 4

D. 3

Câu hỏi : 241549

Quảng cáo

Phương pháp giải:

Gọi \(M\left( x;y \right)\) thỏa mãn \(x-2y+2=0\Rightarrow M\) thuộc đường thẳng \(x-2y+2=0\,\,\left( d \right)\).

Gọi \(A\left( 3;5 \right);B\left( 5;7 \right)\Rightarrow T=MA+MB\)

Đưa về bài toán tìm điểm \(M\in d\) sao cho \(MA+MB\) nhỏ nhất.

Đáp án : A
(3) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:

Gọi \(M\left( x;y \right)\) thỏa mãn \(x-2y+2=0\Rightarrow M\) thuộc đường thẳng \(x-2y+2=0\,\,\left( d \right)\).

Gọi \(A\left( 3;5 \right);B\left( 5;7 \right)\Rightarrow T=MA+MB\)

Ta cần tìm điểm \(M\in d\) sao cho \(MA+MB\) nhỏ nhất.

Dễ thấy A, B nằm cùng phía so với đường thẳng d.

Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua d, ta có : \(MA=MA’\)

\(\Rightarrow MA+MB=MA'+MB\ge A'B\)

\(\Rightarrow MA+MB\) nhỏ nhất \(\Leftrightarrow M,A',B\) thẳng hàng hay \(M=A'B\cap d\).

Đường thẳng AA’ đi qua A và vuông góc với d nên có phương trình \(2x+y-11=0\,\,\left( d' \right)\).

Gọi \(H=d\cap d'\Rightarrow \) Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ

\(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y + 2 = 0\\2x + y - 11 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 3\end{array} \right. \Rightarrow H\left( {4;3} \right)\)

\(\Rightarrow \) Phương trình đường thẳng A’B là : x = 5.

\(\Rightarrow MA+MB\) nhỏ nhất \(\Leftrightarrow M=A'B\cap d\Rightarrow \) Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y + 2 = 0\\x = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = \frac{7}{2}\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {5;\frac{7}{2}} \right) \Rightarrow {T_{\min }} = 6\)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.