Cho lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác \(ABC\) vuông cân tại A, cạnh \(BC=a\sqrt{6}\). Góc giữa mặt phẳng \(\left( AB'C \right)\) và mặt phẳng \(\left( BCC'B' \right)\) bằng \({{60}^{0}}\). Tính thể tích V của khối đa diện \(AB'CA'C'\).
Câu 251963:
Cho lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác \(ABC\) vuông cân tại A, cạnh \(BC=a\sqrt{6}\). Góc giữa mặt phẳng \(\left( AB'C \right)\) và mặt phẳng \(\left( BCC'B' \right)\) bằng \({{60}^{0}}\). Tính thể tích V của khối đa diện \(AB'CA'C'\).
A.
\(\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}\)
B.
\(\frac{3{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}\)
C.
\(\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}\)
D. \({{a}^{3}}\sqrt{3}\)
+) Kẻ \(AD\bot B'C\), xác định góc giữa mặt phẳng \(\left( AB'C \right)\) và mặt phẳng \(\left( BCC'B' \right)\).
+) Tính BB’.
+) Tính thể tích khối lăng trụ và suy ra thế tích \(AB'CA'C'\)
-
Đáp án : D(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Gọi \(H\) là trung điểm của BC ta có
\(AH\bot BC\Rightarrow AH\bot \left( BCC'B' \right)\Rightarrow AH\bot B'C\)
Trong \(\left( AB'C \right)\) kẻ \(AD\bot B'C\)
\(\Rightarrow B'C\bot \left( AHD \right)\Rightarrow B'C\bot HD\)
Ta có :
\(\left\{ \begin{align} \left( AB'C \right)\cap \left( BCC'B' \right)=B'C \\ \left( AB'C \right)\supset AD\bot B'C \\ \left( BCC'B' \right)\supset HD\bot B'C \\ \end{align} \right.\Rightarrow \widehat{\left( \left( AB'C \right);\left( BCC'B' \right) \right)}=\widehat{\left( AD;HD \right)}=\widehat{ADH}\) Ta có \(AH=\frac{AB}{2}=\frac{a\sqrt{6}}{2}\Rightarrow HD=AH.\cot 60=\frac{a\sqrt{2}}{2}\)
Dễ thấy \(\Delta CBB'\) đồng dạng với \(\Delta CDH\) (g.g)
\(\Rightarrow \frac{BB'}{HD}=\frac{CB'}{CH}\Rightarrow \frac{BB'}{\frac{a\sqrt{2}}{2}}=\frac{\sqrt{6{{a}^{2}}+BB{{'}^{2}}}}{\frac{a\sqrt{6}}{2}}\Leftrightarrow \sqrt{3}BB'=\sqrt{6{{a}^{2}}+BB{{'}^{2}}}\Leftrightarrow 2BB{{'}^{2}}=6{{a}^{2}}\Leftrightarrow BB'=a\sqrt{3}\)
Ta có : \(AB=AC=\frac{BC}{\sqrt{2}}=a\sqrt{3}\Rightarrow {{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}AB.AC=\frac{3{{a}^{2}}}{2}\)
\(\begin{align} \Rightarrow {{V}_{ABC.A'B'C'}}=BB'.{{S}_{ABC}}=a\sqrt{3}.\frac{3{{a}^{2}}}{2}=\frac{3\sqrt{3}{{a}^{3}}}{2} \\ {{V}_{AB'CA'C'}}+{{V}_{B'.ABC}}={{V}_{ABC.A'B'C'}}\Rightarrow {{V}_{AB'CA'C'}}={{V}_{ABC.A'B'C'}}-{{V}_{B'.ABC}}={{V}_{ABC.A'B'C'}}-\frac{1}{3}{{V}_{ABC.A'B'C'}}=\frac{2}{3}{{V}_{ABC.A'B'C'}} \\ \Rightarrow {{V}_{AB'CA'C'}}=\frac{2}{3}.\frac{3\sqrt{3}{{a}^{3}}}{2}={{a}^{3}}\sqrt{3} \\ \end{align}\)
Chọn D.
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com