Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta :\frac{x}{1} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{z}{1}\) và hai điểm \(A(1;2; - 5),\,B( - 1;0;2)\). Biết điểm M thuộc \(\Delta \) sao cho biểu thức \(T = \left| {MA - MB} \right|\) đạt GTLN là \({T_{max}}\). Khi đó, \({T_{max}}\) bằng bao nhiêu?

Câu 261108: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta :\frac{x}{1} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{z}{1}\) và hai điểm \(A(1;2; - 5),\,B( - 1;0;2)\). Biết điểm M thuộc \(\Delta \) sao cho biểu thức \(T = \left| {MA - MB} \right|\) đạt GTLN là \({T_{max}}\). Khi đó, \({T_{max}}\) bằng bao nhiêu?

A. \({T_{max}} = \sqrt {57} \).

B. \({T_{max}} = 3\sqrt 6 \).

C. \({T_{max}} = 3\).

D. \({T_{max}} = 2\sqrt 6 - 3\).

Câu hỏi : 261108

Quảng cáo

Đáp án : C
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
+) Chứng minh A, B, \(\Delta \) đồng phẳng:

Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng qua A và chứa \(\Delta \) (\(\Delta \) đi qua \(C(0;1;0)\) và nhận \(\overrightarrow u (1;1;1)\) là VTCP)

\(\overrightarrow {AC} = \left( { - 1; - 1;5} \right)\)

\(\left( \alpha \right)\) có 1 VTPT \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow {AC} } \right] = (6; - 6;0)\).

Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\): \(6(x - 1) - 6(y - 2) + 0(z + 5) = 0 \Leftrightarrow x - y + 1 = 0\)

Ta có: \(\,B( - 1;0;2);\,\,\, - 1 + 0 + 1 = 0 \Rightarrow B \in \left( \alpha \right)\)

\( \Rightarrow \) A, B, \(\Delta \) đồng phẳng.

+) Tìm giao điểm của M của AB và \(\Delta \):

\(\Delta :\frac{x}{1} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{z}{1}\) có PTTS : \(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 1 + t\\z = t\end{array} \right.\) , \(M \in \Delta \Rightarrow M(t;1 + t;t)\)

\(\,\overrightarrow {AB} ( - 2; - 2;7)\), \(\overrightarrow {AM} \left( {t - 1;t - 1;t + 5} \right)\)

\(A,M,B\) thẳng hàng \( \Rightarrow \overrightarrow {AM} //\overrightarrow {AB} \Rightarrow \frac{{t - 1}}{{ - 2}} = \frac{{t - 1}}{{ - 2}} = \frac{{t + 5}}{7} \Leftrightarrow t = - \frac{1}{3} \Rightarrow M\left( {\frac{{ - 1}}{3};\frac{2}{3}; - \frac{1}{3}} \right)\)

Mặt khác, \(\overrightarrow {AM} \left( { - \frac{4}{3}; - \frac{4}{3};\frac{{14}}{3}} \right);\,\,\overrightarrow {BM} \left( {\frac{2}{3};\frac{2}{3};\frac{{ - 7}}{3}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AM} = - 2\overrightarrow {BM} \Rightarrow \) M nằm giữa A và B, suy ra, trong \(\left( \alpha \right)\), A và B nằm khác phía so với đường thẳng \(\Delta \).

Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua B. Khi đó, \(\left| {MA - MB} \right| = \left| {MA' - MB} \right| \le A'B\), \({\left| {MA' - MB} \right|_{max}} = A'B\) khi và chỉ khi M là giao điểm của A’B và đường thẳng \(\Delta \) (điểm M như trên là tồn tại).

+) Tìm tọa độ điểm A’:

Gọi \(\left( \beta \right)\) là mặt phẳng qua A và vuông góc \(\Delta \), khi đó, \(\left( \beta \right)\) nhận \(\overrightarrow {{u_\Delta }} (1;1;1)\) là 1 VTPT.

Phương trình mặt phẳng \(\left( \beta \right)\):

\(1.(x - 1) + 1.(y - 2) + 1.(z + 5) = 0 \Leftrightarrow x + y + z + 2 = 0\)

\(H \in \Delta \Rightarrow \)Gọi \(H(m;1 + m;m)\)

\(H \in \left( \beta \right) \Rightarrow m + 1 + m + m + 2 = 0 \Leftrightarrow m = - 1\) \( \Rightarrow H( - 1;0; - 1)\)

H là trung điểm của AA’ \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_H} = \frac{{{x_A} + {x_{A'}}}}{2}\\{y_H} = \frac{{{y_A} + {y_{A'}}}}{2}\\{z_H} = \frac{{{z_A} + {z_{A'}}}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = - 3\\{y_{A'}} = - 2\\{z_{A'}} = 3\end{array} \right.\)

Độ dài đoạn A’B: \(A'B = \sqrt {{{( - 1 + 3)}^2} + {{(0 + 2)}^2} + {{(2 - 3)}^2}} = 3\)

Vậy, \({T_{max}} = 3\)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.