Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên R thỏa mãn \(f'\left( x \right) = f\left( x \right) + {x^2}{e^x} + 1\,\,\forall x \in R\) và \(f\left( 0 \right) = - 1\). Tính \(f\left( 3 \right)\).
Câu 268811: Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên R thỏa mãn \(f'\left( x \right) = f\left( x \right) + {x^2}{e^x} + 1\,\,\forall x \in R\) và \(f\left( 0 \right) = - 1\). Tính \(f\left( 3 \right)\).
A. \(6{e^3} + 3\)
B. \(6{e^2} + 2\)
C. \(3{e^2} - 1\)
D. \(9{e^3} - 1\)
Quảng cáo
+) Chuyển vế và nhân cả hai vế với \({e^{ - x}}\).
+) Lấy nguyên hàm hai vế.
-
Đáp án : D(7) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Chuyển vế và nhân cả hai vế với \({e^{ - x}}\) ta có:
\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = f\left( x \right) + {x^2}{e^x} + 1\,\,\forall x \in R\\ \Leftrightarrow f'\left( x \right){e^{ - x}} - {e^{ - x}}f\left( x \right) = {x^2} + {e^{ - x}}\end{array}\)
Ta có \(\left[ {f\left( x \right){e^{ - x}}} \right]' = f'\left( x \right){e^{ - x}} - {e^{ - x}}f\left( x \right)\)
\( \Rightarrow \left[ {f\left( x \right){e^{ - x}}} \right]' = {x^2} + {e^{ - x}}\)
Lấy nguyên hàm hai vế ta được \(f\left( x \right){e^{ - x}} = \frac{{{x^3}}}{3} - {e^{ - x}} + C \Rightarrow f\left( x \right) = \frac{{{x^3}{e^x}}}{3} - 1 + C{e^x}\)
Ta có \(f\left( 0 \right) = - 1 \Leftrightarrow - 1 + C = - 1 \Leftrightarrow C = 0 \Rightarrow f\left( x \right) = \frac{{{x^3}{e^x}}}{3} - 1\)
\( \Rightarrow f\left( 3 \right) = \frac{{{3^3}.{e^3}}}{3} - 1 = 9{e^3} - 1\).
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
