Cho hàm số y = $\frac{-m^{2}+(2m-1)x}{x-1}$ (1) (m là tham số)

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) ứng với m = 0 (HS tự làm).

2. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m khác 1 đồ thị hàm số (1) luôn tiếp xúc với đường thẳng y = x.

Câu 43830: Cho hàm số y = $\frac{-m^{2}+(2m-1)x}{x-1}$ (1) (m là tham số)

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) ứng với m = 0 (HS tự làm).

2. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m khác 1 đồ thị hàm số (1) luôn tiếp xúc với đường thẳng y = x.

A. Click để xem đáp án.

Câu hỏi : 43830

Quảng cáo

Đáp án : A
(1) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
1. y = $\frac{-m^{2}+(2m-1)x}{x-1}$ (1).

Khi m = 0. Ta có hàm số y = $\frac{-x}{x-1}$

Tập xác định: D = R\ {1}

Sự biến thiên

Chiều biến thiên : y' = $\frac{1}{(x-1)^{2}}$ > 0 ,∀x ≠ 1

Giới hạn và tiệm cận

$\lim_{x\rightarrow +\infty }$ f(x)= $\lim_{x\rightarrow -\infty }$ f(x) = -1 nên y = -1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

$\lim_{x\rightarrow 1^{+} }$ f(x) = -∞; $\lim_{x\rightarrow 1^{+} }$ = +∞, nên x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên các khảng (-∞; 1) và (1; +∞)

Hàm số không có cực trị

Đồ thị:

Nhận xét :

Đồ thị nhận giao điểm của 2 đường tiệm cận I(1; -1) làm tâm đối xứng.

2. Với x ≠ 1, ta có y ' = $\frac{(m-1)^{2}}{(x-1)^{2}}$

Xét hệ điều kiện tiếp xúc của đồ thị hàm số (1) với đường thẳng y = x là :

$\left\{\begin{matrix} \frac{-m^{2}+(2m-1)x}{x-1}=x\\ \frac{(m-1)^{2}}{(m-1)^{2}}=1 \end{matrix}\right.$ (*)

Yêu cầu bài toán, ta sẽ chứng minh hệ (*) có nghiệm với mọi m ≠ 1.

Thật vậy (*) $\left\{\begin{matrix} x\neq 1\\ (x-m)^{2}=0\\ \frac{(m-1)^{2}}{(x-1)^{2}}=1 \end{matrix}\right.$ ⇔ $\left\{\begin{matrix} x\neq 1\\ m=x\\ \frac{(m-1)^{2}}{(x-1)^{2}}=1 \end{matrix}\right.$ luôn đúng với

mọi m ≠ 1

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.