Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Giỏ hàng của tôi

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn  c(a2 + b2) = a+b. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 

P = \frac{1}{(a+1)^{2}}+\frac{1}{(b+1)^{2}}+\frac{1}{(c+1)^{2}}+\frac{4}{(a+1)(b+1)(c+1)}

Câu 57512: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn  c(a2 + b2) = a+b. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 


P = \frac{1}{(a+1)^{2}}+\frac{1}{(b+1)^{2}}+\frac{1}{(c+1)^{2}}+\frac{4}{(a+1)(b+1)(c+1)}

A. Pmin =- \frac{71}{108} 

B. Pmin = \frac{91}{108} 

C. Pmin = - \frac{91}{108} 

D. Pmin = \frac{71}{108} 

Câu hỏi : 57512
  • Đáp án : B
    (1) bình luận (0) lời giải

    Giải chi tiết:

    Ta có c(a2 + b2) = a+b = > 2(a+b) = 2c(a2 + b2 ) ≥(a+b)2 => a+b ≤\frac{2}{c} 

    = > (1+a)(1+b) ≤ \frac{1}{4} (2+a+b2) ≤ \frac{1}{4}(2+\frac{2}{c} )

    \frac{1+c^{2}}{c^{2}} => \frac{1}{(1+a)(1+b)}\geq \frac{c^{2}}{1+c^{2}}

    Theo Cô- si: P ≥ \frac{2}{(a+1)(b+1)}+\frac{1}{(c+1)^{2}}+\frac{4}{(a+1)(b+1)(c+1)}\geq \frac{2c^{2}+1}{1+c^{2}}+\frac{4c^{2}}{1+c^{3}}

    \frac{2c^{3}+6c^{2}+c+1}{(c+1)^{3}}

    Xét hàm số f(c) = \frac{2c^{3}+6c^{2}+c+1}{(c+1)^{3}}, f'(c) = \frac{2(5c-1)}{(1+c)^{4}} = 0 <=>  c= \frac{1}{5}

    Lập bảng biến thiên: có f(c) ≥  f(\frac{1}{5}) = \frac{91}{108}

    Suy ra P ≥  f(c) ≥  \frac{91}{108}=> Pmin = \frac{91}{108} <=> c=\frac{1}{5}, a=b=5

     

    Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com