Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Cho ba số x, y,z thuộc nửa khoảng (0;1] và thoả mãn: x + y ≥1+ z . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P = $\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{xy+z^{2}}$

Câu 59109: Cho ba số x, y,z thuộc nửa khoảng (0;1] và thoả mãn: x + y ≥1+ z . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P = $\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{xy+z^{2}}$

A. P_min= -2

B. P_min= 2

C. P_min= $\frac{3}{2}$

D. P_min= - $\frac{3}{2}$

Câu hỏi : 59109

Quảng cáo

Đáp án : C
(12) bình luận (1) lời giải
Giải chi tiết:
Do x, y ∊ (0;1] và x + y ≥ 1 + z => x ≥ z, y ≥ z

Ta có xy + z² ≤ 2xy ≤ $\frac{(x+y)^{2}}{2}$ ≤ x + y do x + y ≤ 2

P ≥ $\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}$ = $\frac{1}{2}$ [(x+y) + ( y+z) +(z+x)] ( $\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}$ ) -3 ≥ $\frac{9}{2}$ - 3 = $\frac{3}{2}$

=> P ≥ $\frac{3}{2}$

Dấu " = " xáy ra <=> x = y =z =1

Vậy P_min= $\frac{3}{2}$ khi x = y =z =1

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

- Lời giải thành viên :
  
  Bđt Toán Học Do x, y ∊ (0;1] và x + y ≥ 1 + z => x ≥ z, y ≥ z Ta có xy + z2 ≤ 2xy ≤ \frac{(x+y)^{2}}{2} ≤ x + y do x + y ≤ 2 $P=\sum \frac{x}{x+y}=\sum \frac{x^{2}}{xy+xz}\geq \frac{\left ( \sum x \right )^{_{2}}}{2\sum xy}\geq \frac{3\left ( \sum x \right )^{2}}{2\left ( \sum x \right )^{2}}=3/2 dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1$
  Thích Bình luận (0) 0 Tỉ lệ đúng 67%

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.