Đề thi Đại học môn Toán khối D năm 2012

Câu 1: Cho hàm số y = x³ – mx² – 2(3m² – 1)x +  (1), m là tham số thực.a)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.b)Tìm m để hàm số (1) có hai điểm cực trị x₁ và x₂ sao cho x₁x₂ + 2(x₁ + x₂) = 1.

Câu 2: Giải phương trình sin3x + cos3x – sinx + cosx = √2cos2x.

Câu 3: Giải hệ phương trình    (x, y ∈ R).

Câu 4: Tính tích phân I = x(1 + sin2x)dx.

Câu 5: Cho hình hộp đứng ABCD.A’BC’D’ có đáy là hình vuông, tam giác A’AC vuông cân, A’C = a. Tính thể tích của khối tứ diện ABB’C’ và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD’) theo a.

Câu 6: Cho các số thực x, y  thỏa mãn (x – 4)² + (y – 4)² + 2xy ≤ 32. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x³ + y³ + 3(xy – 1)(x + y – 2).

Câu 7: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD. Các đường thẳng AC và AD lần lượt có phương trình là x + 3y = 0 và x – y + 4 = 0; đường thẳng BD đi qua điểm M(- ; 1). Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD.

Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y – 2z + 10 = 0 và điểm I(2; 1; 3). Viết phương trình mặt cầu tâm I và cắt (P) theo một đường tròn có bán kính bằng 4.

Câu 9: Cho số phức z thỏa mãn (2 + i)z + = 7 + 8i. Tìm môđun của số phức w = z + 1 + i.

Câu 10: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: 2x – y + 3 = 0. Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc d, cắt trục Ox tại A và B, cắt trục Oy tại C và D sao cho AB = CD = 2.

Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: =  = và hai điểm A(1; -1; 2), B(2; - 1; 0). Xác định tọa độ điểm M thuộc d sao cho tam giác AMB vuông tại M.