Thi thử toàn quốc - Đề ôn tập giữa học kì 2 - Môn Toán lớp 11 - Trạm 2

\({3^{2x}} = 81 \Leftrightarrow {3^{2x}} = {3^4} \Leftrightarrow 2x = 4 \Leftrightarrow x = 2\)

\(y = {\left( {{x^2} - 3x - 4} \right)^{\sqrt 3 }}\) có \(\sqrt 3 \) không là số nguyên nên \({x^2} - 3x - 4 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x <  - 1\\x > 4\end{array} \right.\)

Ta có: \(AC||A'C' \Rightarrow \angle \left( {A'C';BD} \right) = \angle \left( {AC;BD} \right)\)

Mà \(ABCD\) là hình vuông \( \Rightarrow AC \bot BD \Rightarrow \angle \left( {AC;BD} \right) = {90^0} \Rightarrow \angle \left( {A'C';BD} \right) = {90^0}\)

\(\begin{array}{l}\left( {SC,ABCD} \right) = \left( {SC,HC} \right) = \angle SCH\\\tan SCH = \dfrac{{SH}}{{HC}} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}}}{{\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}}} = \sqrt 3  \Rightarrow \angle SCH = {60^0}\end{array}\)

Số cách chọn để trong 4 học sinh không có học sinh nữ là \(C_6^4\)

\( \Rightarrow \)Xác xuất để không có học sinh nữ là \(P = \dfrac{{C_6^4}}{{C_{10}^4}} = \dfrac{1}{{14}}\)

\( \Rightarrow \)Xác xuất để có ít nhất 1 học sinh nữ  là \(1 - \dfrac{1}{{14}} = \dfrac{{13}}{{14}}\)

Dựa vào đồ thị ta thấy, đây là đồ thị hàm số mũ dạng \(y = {a^x}\) với \(a > 1\).

\({\log _3}\left( {3x - 2} \right) = 3\) (điều kiện \(x > \dfrac{3}{2}\))

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3x - 2 = {3^3}\\ \Leftrightarrow x = \dfrac{{29}}{3}\left( {tm} \right)\end{array}\)

Xác suất để không có động cơ nào chạy tốt bằng: \(\left( {1 - 0,8} \right).\left( {1 - 0,6} \right) = 0,08\).

Suy ra, xác suất để ít nhất một động cơ chạy tốt bằng : \(1 - 0,08 = 0,92\).

Khi khoanh bừa một câu, xác suất đúng là 0,25 , xác suất sai là 0,75 .

Bạn học sinh đó được 9,2 điểm nếu bạn khoanh đúng được 6 câu trong 10 câu còn lại.

Do đó xác suất để bạn học sinh đó được 9,2 điểm là \(C_{10}^4 \cdot {(0,25)^6} \cdot {(0,75)^4}\).

Ta có \({4^x} + {4^{ - x}} = 7\)\( \Leftrightarrow {\left( {{2^x}} \right)^2} + {\left( {{2^{ - x}}} \right)^2} = 7\)\( \Leftrightarrow {\left( {{2^x} + {2^{ - x}}} \right)^2} - {2.2^x}{.2^{ - x}} = 7 \Leftrightarrow {\left( {{2^x} + {2^{ - x}}} \right)^2} = 9\)

Như vậy \({2^x} + {2^{ - x}} = 3 \Rightarrow \) \(P = \dfrac{{5 + {2^x} + {2^{ - x}}}}{{8 - {{4.2}^x} - {{4.2}^{ - x}}}}\)\( = \dfrac{{5 + 3}}{{8 - 4.3}} =  - 2\)

Ta có : \(\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\)

\(\left. \begin{array}{l}AB \bot BC\\SB \bot BC\end{array} \right\} \Rightarrow \left[ {A,BC,S} \right] = \widehat {SBA}\),   \(\tan \widehat {SBA} = \dfrac{{SA}}{{AB}} = \sqrt 3  \Rightarrow \widehat {SBA} = {60^0}\)

\({\log _a}\dfrac{x}{y} = {\log _a}x - {\log _a}y\).

a) Đúng: Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l} {x^{2} - 3x > 0} \\ {{(x - 3)}^{2} > 0} \end{array}\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} \left\lbrack \begin{array}{l} {x < 0} \\ {x > 3} \end{array} \right. \\ {x \neq 3} \end{array}\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {x < 0} \\ {x > 3} \end{array} \right. \right. \right.$

b) Sai: Phương trình tương đương với $\text{log}_{2}\left( {x^{2} - 3x} \right) = \text{log}_{2}\left| {x - 3} \right| + 2$

c) Sai.

d) Đúng: Có $\text{log}_{2}\left( {x^{2} - 3x} \right) = \text{log}_{2}\left| {x - 3} \right| + 2$

$\begin{array}{l} \left. \Leftrightarrow\text{log}_{2}\left( {x^{2} - 3x} \right) = \text{log}_{2}\left| {x - 3} \right| + \text{log}_{2}4 \right. \\ \left. \Leftrightarrow x^{2} - 3x = 4\left| {x - 3} \right| \right. \end{array}$

TH1: Với $x < 0$ ta có phương trình:

$\left. x^{2} - 3x = - 4\left( {x - 3} \right)\Leftrightarrow x^{2} + x - 12 = 0\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {x = - 4\left( {TM} \right)} \\ {x = 3\left( {KTM} \right)} \end{array} \right. \right.$

TH2: Với $x > 3$ ta có phương trình:

$\left. x^{2} - 3x = 4\left( {x - 3} \right)\Leftrightarrow x^{2} - 7x + 12 = 0\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {x = 4\left( {TM} \right)} \\ {x = 3\left( {KTM} \right)} \end{array} \right. \right.$

Vậy phương trình có 2 nghiệm và tổng bình phương các nghiệm bằng 32

a) Đúng: Vì \(A H \perp S B\) nên \(d(A, S B)=A H\).
b) Sai: Tam giác SAB vuông tại A, đường cao AH nên \(\dfrac{1}{A H^2}=\dfrac{1}{S A^2}+\dfrac{1}{A B^2}\)
\(\Rightarrow A H=\dfrac{S A \cdot A B}{\sqrt{S A^2+A B^2}}=\dfrac{2 \cdot 1}{\sqrt{2^2+1^2}}=\dfrac{2 \sqrt{5}}{5}\).
Trong mặt phẳng \((A B C)\), kẻ \(B I \perp A C\) tại \(I\).
Mặt khác \(B I \perp S A\) (do \(S A \perp(A B C), B I \subset(A B C)\) ).
Vì vậy \(B I \perp(S A C)\) hay \(d(B,(S A C))=B I\).
Tam giác \(A B I\) vuông tại \(I\) có: 
\(\sin \widehat{B A C}=\dfrac{B I}{A B} \Rightarrow B I=A B \cdot \sin 60^{\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\).
Vậy \(d(B,(S A C))=B I=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\).

c) Đúng: Tam giác \(A B C\) vuông tại \(B\) có: 
\(\tan \widehat{A C B}=\dfrac{A B}{B C} \Rightarrow B C=\dfrac{A B}{\tan 30^{\circ}}=\sqrt{3}\).
d) Sai: Diện tích đáy hình chóp là: \(S=S_{\triangle A B C}=\dfrac{1}{2} B A.B C=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\). 
Chiều cao hình chóp \(h=S A=2\).
Thể tích khối chóp S.ABC là: \(V_{S.A B C}=\dfrac{1}{3} S h=\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\) (đơn vị thể tích).