Đề thi thử giữa học kì 1 - Trạm 1

Ta có $1\text{ rad} = \left( \dfrac{180}{\pi} \right)^{{^\circ}}$.

Vậy $\dfrac{5\pi}{3}\text{ rad} = \dfrac{5\pi}{3} \times \dfrac{180}{\pi} = 5 \times 60 = 300^{{^\circ}}$.

\(\cos x = \dfrac{{ - 1}}{2} \Leftrightarrow \cos x = \cos \left( {\dfrac{{2\pi }}{3}} \right) \Leftrightarrow x =  \pm \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi ,\,k \in \mathbb{Z}.\)

Trong không gian có 4 vị trí tương đối giữa hai đường thẳng: song song, trùng nhau, cắt nhau và chéo nhau

- Tính chẵn lẻ: $\cos( - x) = \cos x$. Vậy $y = \cos x$ là hàm số chẵn.

- Tính tuần hoàn: $\cos(x + 2\pi) = \cos x$ Vậy hàm số $\cos x$ tuần hoàn với chu kì $2\pi$.

Xét từng khẳng định:

A. $\sin(a - b) = \sin a\cos b + \cos a\sin b$ sai.

Công thức đúng cho $\sin(a - b)$ là $\sin(a - b) = \sin a\cos b - \cos a\sin b$.

Vì \(a\parallel \left( P \right),\,\,b \subset \left( P \right)\) nên \(a\) và \(b\) song song hoặc chéo nhau

O là tâm của hình bình hành ABCD, nên O là trung điểm của đường chéo BD.

Xét tam giác SBD, gọi N là trung điểm của SD

$\Rightarrow$ ON là đường trung bình của tam giác SBD $\left. \Rightarrow ON//SB \right.$

Có $\left. N \in SD\Rightarrow N \in \left( {SAD} \right) \right.$

Vậy đường thẳng ON (đi qua O và song song với SB) cắt mặt phẳng (SAD) tại điểm N.

Hai mặt phẳng $(\text{MCD})$ và $(\text{ADN})$ có D là điểm chung.

Có M là trung điểm của AB, N là trung điểm của BC.

Gọi $H = AN \cap CM$ trong mặt phẳng (ABC).

Suy ra H là trọng tâm của tam giác ABC.

Vì $H \in AN \subset \left( {ADN} \right)$ nên H thuộc (ADN).

Vì $H \in CM \subset \left( {MCD} \right)$nên H thuộc (MCD).

Suy ra H là điểm chung thứ hai của hai mặt phẳng (MCD) và (ADN).

Vậy $\left( {MCD} \right) \cap \left( {ADN} \right) = DH$.

Ta có $S \in (SAB)$ và $S \in (SCD)$.

Gọi $I$ là giao điểm của AB và CD.

Vì $AB \subset (SAB)$ và $CD \subset (SCD)$ nên $I \in (SAB)$ và $I \in (SCD)$.

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$ là SI.

Hàm số $y = \tan x$ tuần hoàn với chu kì là $\pi$.

Vì M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và BC nên MN là đường trung bình của tam giác ABC.

Suy ra $MN//AC$.

Ta có \( - 1 \le \cos 2x \le 1 \Rightarrow  - 3 \le 3\cos 2x \le 3 \Rightarrow 2 \le 3\cos 2x + 5 \le 8\)

\( \Rightarrow 2 \le y \le 8 \Rightarrow T = \left[ {2;8} \right].\)

a) Qua một điểm \(A\) nằm ngoài mặt phẳng \(\left( \beta  \right)\) cho trước, có duy nhất một mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) chứa \(A\) song song với \(\left( \beta  \right)\)

b) Hai mặt phẳng được gọi là song song nếu chúng không có điểm chung.

c) Cho hai mặt phẳng \(\left( \alpha  \right),\,\,\left( \beta  \right)\) song song với nhau. Khi đó một mặt phẳng nếu cắt \(\left( \alpha  \right)\) và \(\left( \beta  \right)\) lần lượt theo các giao tuyến \(a,\,\,b\) thì \(a\) song song với \(b\)

d) Hai mặt phẳng trong không gian chỉ có 3 vị trí tương đối là song song, cắt nhau và trùng nhau

Do đó hai mặt phẳng phân biệt không cắt nhau thì song song.

Đáp án: a sai| b đúng| c đúng| d đúng

a) Đúng: Ta có \(MN\) là đường trung bình của \(\Delta SAB\)

Do đó \(MN\parallel AB\parallel CD\)

b) Đúng: \(SA\) và \(CD\) là hai đường thẳng chéo nhau

c) Đúng: Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}MN\parallel AB\\MN\not  \subset \left( {ABCD} \right)\end{array} \right.\) \(\Rightarrow MN\parallel \left( {ABCD} \right)\)

d) Đúng: Ta có: \(NI\) là đường trung bình của \(\Delta SBD\) nên \(NI\parallel SD\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}MN\parallel CD\\NI\parallel SD\end{array} \right. \Rightarrow \left( {MNI} \right)\parallel \left( {SCD} \right)\)

Đáp án: a - Đúng, b - Đúng, c - Sai, d - Đúng

a) b) Với mọi \(x \in \mathbb{R}\), ta có: \( - 1 \le \cos x \le 1 \Rightarrow  - 3 \le 3\cos x \le 3 \Rightarrow  - 1 \le 2 + 3\cos x \le 5\).

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng 5 khi \(\cos x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi (k \in \mathbb{Z})\).

Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng -1 khi \(\cos x =  - 1 \Leftrightarrow x = \pi  + k2\pi (k \in \mathbb{Z})\).

c) d) Ta có: \(\sin x + \cos x = \sqrt 2 \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right)\).

Với mọi \(x \in \mathbb{R}\), ta có: \( - 1 \le \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) \le 1 \Leftrightarrow  - \sqrt 2  \le \sqrt 2 \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) \le \sqrt 2 \).

Vây giá trị lớn nhất của hàm số bằng \(\sqrt 2 \) khi \(\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = 1\)

\( \Leftrightarrow x + \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi (k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{4} + k2\pi (k \in \mathbb{Z})\)

Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng \( - \sqrt 2 \), khi đó \(\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) =  - 1\)

\( \Leftrightarrow x + \dfrac{\pi }{4} =  - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi (k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow x =  - \dfrac{{3\pi }}{4} + k2\pi (k \in \mathbb{Z}).\)

a) Đúng. Tại $t = 0$ thì $x = 3\cos\left( {2.0 - \dfrac{\pi}{3}} \right) = \dfrac{3}{2}$

b) Sai. Vật đạt biên độ cực đại lần đầu tiên tại thời điểm $t$ sao cho $\left. 2t - \dfrac{\pi}{3} = 0\Leftrightarrow t = \dfrac{\pi}{6} \right.$.

c) Đúng. Vật đi qua vị trí cân bằng lần đầu tiên tại thời điểm $\left. 2t - \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\pi}{2}\Leftrightarrow t = \dfrac{5\pi}{12} \right.$

d) Sai. Vị trí cân bằng của vật dao động điều hòa là vị trí vật đứng yên, khi đó $x = 0$.

Xét phương trình $3\cos\left( {2t - \dfrac{\pi}{3}} \right) = 0$ ta có:

$\left. 3\cos\left( {2t - \dfrac{\pi}{3}} \right) = 0\Leftrightarrow\cos\left( {2t - \dfrac{\pi}{3}} \right) = 0\Leftrightarrow 2t - \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\pi}{2} + k\pi\Leftrightarrow t = \dfrac{5\pi}{12} + k\dfrac{\pi}{2},k \in {\mathbb{Z}} \right.$.

Trong thời gian từ 0 đến 30 giây, tức là $0 \leq t \leq 30$ hay $0 \leq \dfrac{5\pi}{12} + k\dfrac{\pi}{2} \leq 30$

$\left. \Leftrightarrow - \dfrac{5}{6} \leq k \leq \dfrac{360 - 5\pi}{6\pi}. \right.$

Mà $k \in {\mathbb{Z}}$ nên $k \in \left\{ 0;1;2;3;\ldots;17;18 \right\}$.

Vậy trong khoảng thời gian từ 0 đến 30 giây, vật đi qua vị trí cân bằng 19 lần.