Thi thử toàn quốc - Thi thử giữa HK2 - Môn Toán 12 - Trạm 2 (Ngày 28-29/03/2026)

$\int_{a}^{b}f(x)\text{d}x = F(b) - F(a)$

Hàm số $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên khoảng $K$ nếu $F'(x) = f(x),\forall x \in K$

$\begin{array}{l} {\int_{0}^{3}f(x)\text{d}x = \int_{0}^{1}f(x)\text{d}x + \int_{1}^{3}f(x)\text{d}x} \\ \left. \Leftrightarrow 5 = - 1 + \int_{1}^{3}f(x)\text{d}x\Rightarrow\int_{1}^{3}f(x)\text{d}x = 6 \right. \end{array}$

Đường thẳng $\left\{ {\begin{array}{l} {x = 3 - t} \\ {y = - 1} \\ {z = 3t} \end{array}\ \left( {t \in {\mathbb{R}}} \right)} \right.$ có VTCP ${\overset{\rightarrow}{u}}_{4} = \left( {- 1;0;3} \right)$

$\int~e^{x}dx = e^{x} + C$ nên C sai.

Khoảng cách từ $A\left( {1;2;0} \right)$ đến mặt phẳng $(P):2x - y + z + 1 = 0$ bằng $d = \dfrac{\left| {2.1 - 2 + 0 + 1} \right|}{\sqrt{2^{2} + \left( {- 1} \right)^{2} + 1^{2}}} = \dfrac{1}{\sqrt{6}}$

$(\alpha):x + 3y + 2z - 1 = 0$ có VTPT $\overset{\rightarrow}{n} = \left( {1;3;2} \right)$

Xét A. $(S):x - 2y + 2z + 1 = 0$ có $\overset{\rightarrow}{n_{1}} = \left( {1; - 2;2} \right)$ mà $\overset{\rightarrow}{n}.\overset{\rightarrow}{n_{1}} = 1.1 + 3.\left( {- 2} \right) + 2.2 = - 1 \neq 0$

Xét B. $(P):2x + 6y + 4z - 2 = 0$ có $\overset{\rightarrow}{n_{2}}\left( {2;6;4} \right)$ mà $\overset{\rightarrow}{n}.\overset{\rightarrow}{n_{2}} = 2.1 + 6.3 + 4.2 \neq 0$

Xét C. $(R):x + y - 2z - 1 = 0$ có $\overset{\rightarrow}{n_{3}}\left( {1;1; - 2} \right)$ mà $\overset{\rightarrow}{n}.\overset{\rightarrow}{n_{3}} = 1.1 + 1.3 + \left( {- 2} \right).2 = 0$ nên $(R)\bot(\alpha)$

$\begin{array}{l} {\int_{1}^{2}\left\lbrack {2f(x) - 3x + 1} \right\rbrack dx = \dfrac{1}{2}} \\ \left. \Leftrightarrow 2{\int\limits_{1}^{2}{f(x)}}dx + {\int\limits_{1}^{2}\left( {- 3x + 1} \right)}dx = \dfrac{1}{2} \right. \\ \left. \Leftrightarrow 2{\int\limits_{1}^{2}{f(x)}}dx + {\int\limits_{1}^{2}\left( {- 3x + 1} \right)}dx = \dfrac{1}{2} \right. \\ \left. \Leftrightarrow 2{\int\limits_{1}^{2}{f(x)}}dx - \dfrac{7}{2} = \dfrac{1}{2}\Rightarrow{\int\limits_{1}^{2}{f(x)}}dx = 2 \right. \end{array}$

Thể tích $V$ của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$, trục $Ox$ và hai đường thẳng $x = a,x = b(a < b)$, xung quanh trục $Ox$ là $V = \pi\int_{a}^{b}f^{2}(x)dx$

Mặt phẳng $- 2x + 2y - z - 3 = 0$ có VTPT $\overset{\rightarrow}{n}\left( {- 2;2; - 1} \right)$

Thay $N\left( {1;1;1} \right)$ vào (P) ta thấy $1 + 1 + 1 - 3 = 0$ nên $N \in (P)$

Diện tích phần gạch chéo $S = {\int\limits_{- 2}^{3}\left| {f(x)} \right|}dx = {\int\limits_{- 2}^{1}{f(x)}}dx - {\int\limits_{1}^{3}{f(x)}}dx$

a) Đúng. $\left. f(x) = x^{2} - 2x\Rightarrow F(x) = \dfrac{x^{3}}{3} - x^{2} + C \right.$

Vì $F(0) = 1$ nên $\left. C = 1\Rightarrow F(x) = \dfrac{x^{3}}{3} - x^{2} + 1 \right.$

b) Sai. $\int_{0}^{3}f(x)\text{d}x = \left. \left( {\dfrac{x^{3}}{3} - x^{2}} \right) \right|_{0}^{3} = 0$

c) Đúng. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = x^{2} - 2x,y = 0,x = - 1,x = 3$ là $S = {\int\limits_{- 1}^{3}\left| {x^{2} - 2x} \right|}dx = 4$

d) Đúng. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình $H$ xoay quanh trục $Ox$ là $V = \pi{\int\limits_{1}^{3}\left( {x^{2} - 2x} \right)^{2}}dx = \dfrac{46}{15}\pi$

a) Đúng. Thể tích của khối tròn xoay khi quay ($S$) quanh $Ox$ là $V = \pi{\int\limits_{- 5}^{5}\left( \sqrt{25 - x^{2}} \right)^{2}}dx = \dfrac{500}{3}\pi$.

b) Sai. Xét phương trình $\left. \sqrt{25 - x^{2}} = 3\Leftrightarrow 25 - x^{2} = 9\Leftrightarrow x = \pm 4 \right.$

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$ và đường thẳng $y = 3$ bằng

$\begin{array}{l} {S = {\int\limits_{- 4}^{4}\left| {\sqrt{25 - x^{2}} - 3} \right|}dx = S = {\int\limits_{- 4}^{4}\left( {\sqrt{25 - x^{2}} - 3} \right)}dx} \\ {= 2{\int\limits_{0}^{4}\left( {\sqrt{25 - x^{2}} - 3} \right)}dx = 2{\int\limits_{0}^{4}\sqrt{25 - x^{2}}}dx - 2{\int\limits_{0}^{4}3}dx} \\ {= 2{\int\limits_{0}^{4}\sqrt{25 - x^{2}}}dx - 24} \end{array}$

c) Sai. Đạo hàm của hàm số $f(x)$ bằng $y' = \left( \sqrt{25 - x^{2}} \right)' = \dfrac{- 2x}{2\sqrt{25 - x^{2}}} = \dfrac{- x}{\sqrt{25 - x^{2}}}$.

d) Sai. Diện tích hình phẳng ($S$) bằng $S = {\int\limits_{- 5}^{5}\sqrt{25 - x^{2}}}dx = \dfrac{25}{2}\pi$

a) Sai. $\overset{\rightarrow}{n_{(P)}} = \overset{\rightarrow}{n_{(Q)}} = \left( {- 1;2; - 4} \right)$ nên $(P) \parallel (Q)$

b) Đúng. $ax + by + 5z + d = 0$ qua $O\left( {0;0;0} \right)$ và $A\left( {2;1;0} \right)$ nên

$\left. \left\{ \begin{array}{l} {a.0 + b.0 + 5.0 + d = 0} \\ {a.2 + b.1 + 5.0 + d = 0} \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {d = 0} \\ {2a + b = 0} \end{array} \right. \right.$ (1)

Mặt phẳng ($\alpha$) có VTPT $\overset{\rightarrow}{n}\left( {a;b;5} \right)$ vuông góc với $(P): - x + 2y - 4z + 4 = 0$ nên

$\left. a.\left( {- 1} \right) + b.2 + 5.\left( {- 4} \right) = 0\Leftrightarrow - a + 2b = 20 \right.$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\left. a = - 4;b = 8;d = 0\Rightarrow a + b + d = 4 \right.$

c) Sai. Vì $B\left( {0;0;1} \right) \in (P)$

Mà $(P) \parallel (Q)$ nên $d\left( {(P),(Q)} \right) = d\left( {B,(Q)} \right) = \dfrac{\left| {- 4 + 10} \right|}{\sqrt{\left( {- 1} \right)^{2} + 2^{2} + \left( {- 4} \right)^{2}}} = \dfrac{6}{\sqrt{21}}$

d) Đúng. $d\left( {A,(P)} \right) = \dfrac{\left| {- 2 + 2.1 - 4.0 + 4} \right|}{\sqrt{21}} = \dfrac{4}{\sqrt{21}}$

Từ hệ trục toạ độ có $O\left( {0;0;0} \right);A\left( {100;0;0} \right);B\left( {10;10;8} \right);D\left( {0;60;0} \right);G\left( {100;60;0} \right)$

a) Đúng. (OAG) song song với (BCF) nên $\cos\left( {\left( {OAG} \right);\left( {BCF} \right)} \right) = 1$

b) Đúng. $d\left( {B;\left( {OAG} \right)} \right) = d\left( {B,\left( {Oxy} \right)} \right) = 8$

c) Sai. Vì $OG$ không nằm trong $\left( {OACB} \right)$ nên $\overset{\rightarrow}{OG}$ không là VTCP của mặt phẳng (OACB)

d) Đúng. $\left. \overset{\rightarrow}{OA}\left( {100;0;0} \right);\overset{\rightarrow}{OB}\left( {10;10;8} \right)\Rightarrow\overset{\rightarrow}{n_{({OACB})}} = \left\lbrack {\overset{\rightarrow}{OA};\overset{\rightarrow}{OB}} \right\rbrack = \left( {0; - 800;1000} \right) = - 200\left( {0; - 2;5} \right) \right.$

Mặt phẳng OACB qua O(0;0;0) và có VTPT $\overset{\rightarrow}{n}\left( {0; - 4;5} \right)$ là $4y - 5z = 0$

Vậy $a + c + d = 0 + \left( {- 5} \right) + 0 = - 5$