Thi thử toàn quốc - Đề ôn tập giữa học kì 2 - Môn Toán lớp 10 - Trạm 1

Cho tam thức bậc hai: \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\,\,\,\left( {a \ne 0} \right).\)

Khi đó \(f\left( x \right) < 0\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta  < 0\end{array} \right..\)           

Bình phương hai vế ta được: $2x^{2} - 3x - 2 = x^{2} - x - 2$

$\left. \Leftrightarrow x^{2} - 2x = 0\Leftrightarrow x(x - 2) = 0\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {x = 0} \\ {x = 2} \end{array} \right. \right.$

- Với $x = 0$: $x^{2} - x - 2 = - 2 < 0$ (Loại).

- Với $x = 2$: $x^{2} - x - 2 = 2^{2} - 2 - 2 = 0 \geq 0$ (Thoả mãn)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x = 2$.

Tam thức: \({x^2} + x + 1\) có \(\Delta  = 1 - 4 =  - 3 < 0\)

Vậy tam thức bậc hai \({x^2} + x + 1\) luôn dương với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

\({x^2} - 2x + 3 > 0 \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 2x + 1} \right) + 2 > 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + 2 > 0\) luôn đúng với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

\(y = \sqrt {{x^2} + x - 2}  + \dfrac{1}{{\sqrt x }}\)

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + x - 2 \ge 0\\x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x \le  - 2\\x \ge 1\end{array} \right.\\x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge 1\)

Vậy \(a = 1 > 0.\)

Để bất phương trình \(3{x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x + m + 5 > 0\) có tập nghiệm là \(\mathbb{R}\)

\( \Leftrightarrow \Delta ' = {\left( {m - 1} \right)^2} - 3.\left( {m + 5} \right) < 0 \Leftrightarrow {m^2} - 5m - 14 < 0 \Leftrightarrow  - 2 < m < 7\)

Vậy với \( - 2 < m < 7\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

+ VTCP: \(\overrightarrow u  = \left( {1; - 2} \right) \Rightarrow \) VTPT \(\overrightarrow n  = \left( {2;1} \right)\)

+ Phương trình đường thẳng \(2\left( {x - 1} \right) + y + 2 = 0\) hay \(2x + y = 0\)

\({\Delta _1}:\,\,{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0\)\( \Rightarrow {\vec n_1} = \left( {{a_1};\,\,{b_1}} \right)\)

\({\Delta _2}:\,\,{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0\)\( \Rightarrow {\vec n_2} = \left( {{a_2};\,\,{b_2}} \right)\)

*) \({\vec n_1}\) và \({\vec n_2}\) không cùng phương \( \Rightarrow {\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) cắt nhau \( \Rightarrow \) Đáp án A đúng.

*) \({\vec n_1}.{\vec n_2} = 0 \Rightarrow {\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) vuông góc\( \Rightarrow \) Đáp án B đúng.

*) \({\vec n_1}\) và \({\vec n_2}\) cùng phương thì \({\vec n_1} = k{\vec n_2}\left( {k \ne 0} \right)\)

+ Nếu \(k = 1\) thì \({\vec n_1} = {\vec n_2}\)\( \Rightarrow {\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) trùng nhau.

+ Nếu \(k \ne 1\) thì \({\vec n_1} = k{\vec n_2}\)\( \Rightarrow {\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) song song.

\( \Rightarrow \) Đáp án C sai (vì hai véc tơ cùng phương thì chúng có thể song song với nhau hoặc trùng nhau)

*) \({\vec n_1}\) và \({\vec n_2}\) cùng phương thì \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) trùng nhau hoặc song song với nhau. Kết hợp với điều kiện \(M \in {\Delta _1} \Rightarrow M \in {\Delta _2}\) suy ra \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) trùng nhau. \( \Rightarrow \) Đáp án D đúng

Ta có:

\((x+2 y)^4=\sum_{k=0}^4 C_4^k x^{4-k}(2 y)^k=\sum_{k=0}^4 C_4^k \cdot 2^k \cdot x^{4-k} y^k\).

Số hạng chứa \(x^2 y^2\) trong khai triển trên ứng với \(\left\{\begin{array}{l}4-k=2 \\ k=2\end{array} \Leftrightarrow k=2\right.\).

Vậy hệ số của \(x^2 y^2\) trong khai triển của \((x+2 y)^4\) là \(C_4^2 \cdot 2^2=24\).

Số cách chọn của huấn luyện viên của mỗi đội là \(A_{11}^5=55440\).

Nếu đi bằng ô tô có 10 cách.

Nếu đi bằng tàu hỏa có 5 cách.

Nếu đi bằng tàu thủy có 3 cách.

Nếu đi bằng máy bay có 2 cách.

Theo qui tắc cộng, ta có $10 + 5+ 3+ 2= 20$ cách chọn.

Đường thẳng \(d\) có \(\overrightarrow n  = \left( {4; - 3} \right) \Rightarrow \) vtcp \({\overrightarrow u _1} = \left( {3;4} \right)\)

Đáp án A: \({\overrightarrow u _2} = \left( { - 4; - 3} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}}  \ne 0\)

Đáp án B: \(\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {8;1} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}}  \ne 0\)

Đáp án C: \({\overrightarrow u _2} = \left( {4; - 3} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}}  = 0\)

Đáp án D: \(\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {4;3} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}}  \ne 0\)

a) Đúng: Hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 3.

b) Sai: Gọi $f(x) = ax^{2} + bx + c$. Từ giả thiết ta có

$\left. \left\{ \begin{array}{l} {f(2) = 2} \\ {\dfrac{- b}{2a} = 1} \\ {f(1) = 3} \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {4a + 2b + c = 2} \\ {2a + b = 0} \\ {a + b + c = 3} \end{array} \right. \right.$ $\left. \Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {a = - 1} \\ {b = 2} \\ {c = 2.} \end{array} \right. \right.$

Do đó $f(x) = - x^{2} + 2x + 2$.

c) Đúng: $f(0) = 2$.

d) Đúng: $f( - 1) = - 1$.

a) Đúng: Thay $t = 0$ vào phương trình $(d)$ ta được $x = 1,y = - 5$.

b) Đúng: Hệ số của $t$ trong phương trình tham số là $( - 1;3)$, đây chính là một VTCP.

c) Đúng: $(d')$ và $(\Delta)$ đều có VTPT là $(3;2)$ và hằng số tự do $- 1 \neq - 5$ nên chúng song song.

d) Sai: $d(B,d') = \dfrac{\left| 3( - 1) + 2( - 1) - 1 \right|}{\sqrt{3^{2} + 2^{2}}} = \dfrac{| - 6|}{\sqrt{13}} = \dfrac{6}{\sqrt{13}} \neq 3$.