Toán 12 - Trạm số 1

Từ BBT ta thấy hàm số đạt GTLN trên $\left\lbrack {- 1;3} \right\rbrack$ bằng 0 tại $x = - 1$

$y = \dfrac{x + 1}{x - 2}$ có TCĐ là $x = 2$

Từ BBT ta thấy hàm số có giá trị cực tiểu bằng -3

Do $y = x^{3} + x$ có $y' = 3x^{2} + 1 > 0$ trên $\mathbb{R}$ nên luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$

Từ đồ thị ta thấy hàm số là hàm bậc ba có hệ số $a > 0$ nên $y = 2x^{3} - x + 4$

Ta có $f(x) = x^{3} - 3x^{2} - 9x + 10$

$\left. \Rightarrow f'(x) = 3x^{2} - 6x - 9 = 0\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {x = 3 \notin \left\lbrack {- 2,2} \right\rbrack} \\ {x = - 1 \in \left\lbrack {- 2,2} \right\rbrack} \end{array} \right. \right.$

Ta có $f\left( {- 2} \right) = 8;f\left( {- 1} \right) = 15;f(2) = - 12$

Vậy hàm số đạt GTLN bằng 15

Từ BBT ta thấy hàm số có TCĐ: $x = 0$ và TCN: $y = 2$

Từ đồ thị ta thấy đây là hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất có dạng $y = \dfrac{ax + b}{cx + d}$

Đồ thị có TCĐ: $x = - 1$ và TCN $y = 1$ nên $y = \dfrac{x - 1}{x + 1}$

Ta thấy $\left. f'(x) > 0\Leftrightarrow x \in \left( {- 7, - 4} \right)\backslash\left\{ {- 6} \right\} \right.$ và $y = f(x)$ xác định với mọi $x \neq - 6$

Vậy hàm số đồng biến trên $\left( {- 7, - 6} \right)$ và $\left( {- 6, - 4} \right)$

Ta có: \(y = f\left( x \right)\) và \(y = 1\) có 3 giao điểm, suy ra \(f\left( x \right) = 1\) có 3 nghiệm.

Ta có: \(v(t)=s^{\prime}(t)=-t^2+12 t ; v^{\prime}(t)=-2 t+12 ; v^{\prime}(t)=0 \Leftrightarrow t=6\).

Bảng biến thiên:

Nhìn bảng biến thiên ta thấy vận tốc đạt giá trị lớn nhất khi \(t=6\).

Giá trị lớn nhất là \(v(6)=36 \mathrm{~m} / \mathrm{s}\).

Ta có \(f'\left( x \right) = x\left( {{x^2} + x - 2} \right)\left( {x - 1} \right) = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow x\left( {x + 2} \right){(x - 1)^2} = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x + 2 = 0}\\{{{(x - 1)}^2} = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x =  - 2}\\{x = 1.}\end{array}} \right.} \right.\end{array}\)

Vì \(x = 1\) là nghiệm bội chẵn nên hàm số \(y = f\left( x \right)\) có hai điểm cực trị.

a) Đúng. Hàm số có giá trị cực đại bằng 3.

b) Đúng. Hàm số có hai điểm cực trị.

c) Sai. Hàm số đạt cực đại tại điểm $x = - 1$

d) Sai. Hàm số có hai giá trị cực trị là -1 và 3.

a) Đúng. Điểm $\left( {0;1} \right)$ là tâm đối xứng của đồ thị hàm số $y = f(x)$.

b) Sai. Hàm số $y = f(x)$ nghịch biến trong khoảng $\left( {- \infty;0} \right)$ và $\left( {0; + \infty} \right)$.

c) Sai. Hàm số $y = f(x)$ không có cực trị.

d) Đúng. Đồ thị hàm số $y = f(x)$ có một tiệm cận đứng $x = 0$ và một tiệm cận ngang $y = 1$.

a) Đúng. Hàm số $y = \dfrac{x^{2} + 6x + 11}{x + 2}$ có TCĐ: $x = - 2$

b) Đúng. Ta có $y' = \dfrac{\left( {2x + 6} \right)\left( {x + 2} \right) - \left( {x^{2} + 6x + 11} \right).1}{\left( {x + 2} \right)^{2}} = \dfrac{x^{2} + 4x + 1}{\left( {x + 2} \right)^{2}}$

c) Đúng. Xét $\left. y' = 0\Leftrightarrow x^{2} + 4x + 1 = 0\Leftrightarrow x = - 2 \pm \sqrt{3} \right.$ nên phương trình $y' = 0$ có 2 nghiệm phân biệt.

d) Đúng. Ta có $y = \dfrac{x^{2} + 6x + 11}{x + 2} = x + 4 + \dfrac{3}{x + 2}$ nên hàm số có TCX là $y = x + 4$

a) Đúng. Chi phí khi sản xuất $x\left( m^{3} \right)$ nước là $C(x) = 5 + 0,15x + 0,0005x^{2}$

b) Sai. Ta có $C(100) = 5 + 0,15.100 + 0,0005.100^{2} = 25$

c) Đúng. Hàm chi phí trung bính khi sản xuất x mét khối là $\overline{C}(x) = \dfrac{5 + 0,15x + 0,0005x^{2}}{x} = 0,0005x + \dfrac{5}{x} + 0,15$

$\left. \Rightarrow{\overline{C}}'(x) = 0,0005 - \dfrac{5}{x^{2}} = 0\Leftrightarrow x = \pm 100 \right.$

Ta có bảng xét dấu

Do ${\overline{C}}'(x) < 0$ khi $x \in \left( {0,100} \right)$ nên chi phí trung bình giảm xuống khi sản lượng nước tinh khiết trong ngày không vượt quá $100\text{m}^{3}$.

d) Đúng. $\overline{C}(x) = 0,0005x + \dfrac{5}{x} + 0,15$