Thi thử toàn quốc giữa học kì 1 - Môn Toán 10 - Trạm 2

Mệnh đề $\left. P\Leftrightarrow Q \right.$: “Tứ giác ABCD là hình thoi khi và chỉ khi nó có hai đường chéo vuông góc”.

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm $\left( {- 8;0} \right),\left( {0;4} \right)$ là $- x + 2y - 8 = 0$.

Miền không bị gạch kể cả đường thẳng là miền nghiệm của bất phương trình $- x + 2y - 8 \geq 0$

Ta có diện tích tam giác ABC: $S = \dfrac{1}{2}bc\sin A$

$A \cup B = \left\{ 1,2,3,4,6,8 \right\}$

Ta có $\left\{ \begin{array}{l} {- 2x + y < 3^{2}} \\ {4^{2}x + 3y < 1} \end{array} \right.$ là một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn $x,y$.

Dựa vào hình biểu diễn, ta có $\left. \cos\alpha = x_{0},\sin\alpha = y_{0}\Rightarrow\tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \dfrac{y_{0}}{x_{0}}\left( {x_{0} \neq 0} \right). \right.$

Thay $\left( {1;1} \right)$ vào bất phương trình, ta được $- 1 + 3 - 2 > 0$ (vô lí) => $\left( {1;1} \right)$ không là nghiệm.

Thay $\left( {- 1;2} \right)$ vào bất phương trình, ta được $1 + 3.2 - 2 = 5 > 0$ (đúng)

Vậy $\left( {- 1;2} \right)$ là nghiệm của bất phương trình.

$- 2x - 3y + 1 < 0$ là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Ta có $\dfrac{AC}{\sin 30^{{^\circ}}} = \dfrac{5}{\sin 45^{{^\circ}}}$ suy ra $AC = 5 \cdot \dfrac{\sin 30^{{^\circ}}}{\sin 45^{{^\circ}}}=5 \cdot \dfrac{\dfrac{1}{2}}{\dfrac{\sqrt{2}}{2}} = \dfrac{5}{\sqrt{2}}.$

$\text{A} \cap \text{B=}\left\lbrack {- 5;3} \right) \cap \left( {1; + \infty} \right) = \left( {1;3} \right).$

Có $\cos 60^{{^\circ}} + \sin 30^{{^\circ}} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = 1.$

Ta có $\cos\left( {180^{{^\circ}} - a} \right) = - \cos a$. Đây là đẳng thức đúng theo công thức lượng giác của hai góc bù nhau.

a) Đúng: \(A \cap B\) là tập hợp các học sinh lớp 10 học môn Tiếng Anh ở trường em.
b) Đúng: \(A \backslash B\) là tập hợp những học sinh lớp 10 nhưng không học Tiếng Anh ở trường em.
c) Đúng: \(A \cup B\) là tập hợp các học sinh lớp 10 hoặc học sinh học môn Tiếng Anh ở trường em.
d) Đúng: \(B \backslash A\) là tập hợp các học sinh học môn Tiếng Anh nhưng không học lớp 10 ở trường em.

a) Đúng: Trong tuần, số tiền An có thể mua cam là \(15000 x\), số tiền An có thể mua xoài là \(30000 y(x, y>0)\).
b) Sai: Ta có bất phương trình: \(15000 x+30000 y \leq 200000 \Leftrightarrow 3 x+6 y \leq 40\left(^*\right)\).
c) Đúng: Xét \(x=5, y=4\), thay vào bất phương trình: \(3.5+6.4 \leq 40\) (đúng) 
Nên ( \(5 ; 4\) ) là một nghiệm của (*).
d) Sai: Xét \(x=4, y=5\), thay vào bất phương trình: \(3.4+6.5 \leq 40\) (sai)
Vậy An không thể mua 4 kg cam, 5 kg xoài trong tuần.

Cho $a = BC = 3~\text{cm}$, $b = AC = 4~\text{cm}$, $c = AB = 5~\text{cm}$.

a) Đúng: Kiểm tra tam giác vuông:

Ta thấy $3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25$ và $5^{2} = 25$.

Vì $BC^{2} + AC^{2} = AB^{2}$ nên theo định lý Pythagoras, tam giác ABC vuông tại C (đỉnh đối diện với cạnh AB).

b) Sai: Tính diện tích tam giác:

Vì tam giác ABC vuông tại C, diện tích của nó là $S = \dfrac{1}{2}.AC.BC = \dfrac{1}{2}.4.3 = 6~\text{cm}^{2}$.

c) Đúng: Trong tam giác vuông ABC vuông tại C:

$\cos B = \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{3}{5}$.

d) Đúng: Chu vi tam giác $P = AB + BC + AC = 5 + 3 + 4 = 12~\text{cm}$.

a) Sai: Áp dụng định lý cosin trong $\bigtriangleup ABC$: $b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2ac\cos B$

$\left. \Rightarrow\cos B = \dfrac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2ac} = \dfrac{BC^{2} + AB^{2} - AC^{2}}{2.BC.AB} = \dfrac{7^{2} + 8^{2} - 5^{2}}{2 \cdot 7 \cdot 8} = \dfrac{11}{14} \right.$

b) Sai: Dùng công thức Heron

Nửa chu vi $p = \dfrac{BC + AC + AB}{2} = \dfrac{7 + 5 + 8}{2} = 10$.

Diện tích $S_{ABC} = \sqrt{p(p - BC)(p - AC)(p - AB)}$

$S_{ABC} = \sqrt{10(10 - 7)(10 - 5)(10 - 8)} = \sqrt{10 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 2} = \sqrt{300} = \sqrt{100 \cdot 3} = 10\sqrt{3}$.

c) Đúng: Gọi $h_{b}$ là đường cao hạ từ đỉnh $B$ xuống cạnh AC.

Ta có công thức diện tích: $S_{ABC} = \dfrac{1}{2}b \cdot h_{b}$.

Từ câu b, ta có $S_{ABC} = 10\sqrt{3}$, mà $b = AC = 5$.

Suy ra $10\sqrt{3} = \dfrac{1}{2} \cdot 5 \cdot h_{b}$$\left. \Rightarrow 20\sqrt{3} = 5 \cdot h_{b} \right.$

$\left. \Rightarrow h_{b} = \dfrac{20\sqrt{3}}{5} = 4\sqrt{3} \right.$.

d) Sai: Áp dụng định lý cosin trong $\bigtriangleup ABC$:

$\cos A = \dfrac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2bc} = \dfrac{5^{2} + 8^{2} - 7^{2}}{2 \cdot 5 \cdot 8} = \dfrac{25 + 64 - 49}{80} = \dfrac{40}{80} = \dfrac{1}{2}$.

Suy ra $\widehat{A} = 60^{{^\circ}}$.

Áp dụng định lý cosin cho $\bigtriangleup AMC$:

$CM^{2} = AM^{2} + AC^{2} - 2 \cdot AM \cdot AC \cdot \cos A = 5^{2} + 5^{2} - 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot \dfrac{1}{2} = 25$

$\left. \Rightarrow CM = 5 \right.$.

Các cạnh của $\bigtriangleup CMB$ là $MB = 3,BC = 7,CM = 5$.

Ta có $\sin B = \sqrt{1 - \cos^{2}B} = \sqrt{1 - \left( \dfrac{11}{14} \right)^{2}} = \dfrac{5\sqrt{3}}{14}$.

Trong $\bigtriangleup CMB$, cạnh đối diện với góc $B$ là cạnh CM.

Áp dụng định lý sin cho $\bigtriangleup CMB$, ta có bán kính cần tính:

$R = \dfrac{CM}{2\sin B} = \dfrac{5}{2 \cdot \dfrac{5\sqrt{3}}{14}} = \dfrac{5}{\dfrac{10\sqrt{3}}{14}} = \dfrac{5}{\dfrac{5\sqrt{3}}{7}} = 5 \cdot \dfrac{7}{5\sqrt{3}} = \dfrac{7}{\sqrt{3}} = \dfrac{7\sqrt{3}}{3}$.