Thi thử toàn quốc Giữa HK1 - Môn Toán 12 - Trạm số 2 - Ngày 01-02/11/2025

$y = \dfrac{x^{2} + 3x + 2}{x - 3} = x + 6 + \dfrac{20}{x - 3}$ nên hàm số có TCX là $y = x + 6$

$\left. \Rightarrow g\left( {- 2} \right) = - 2 + 6 = 4 \right.$

Ta có $y' = \dfrac{\dfrac{1}{x}.x - \ln x.1}{x^{2}} = \dfrac{1 - \ln x}{x^{2}}$

$\left. \Rightarrow y' = 0\Leftrightarrow\ln x = 1\Leftrightarrow x = e \right.$

Ta có trên $\left\lbrack {2;3} \right\rbrack$ thì $f(2) = \dfrac{\ln 2}{2};f(e) = \dfrac{1}{e};f(3) = \dfrac{\ln 3}{3}$

$\left. \Rightarrow f(e) > f(3) > f(2) \right.$

Vậy GTNN của hàm số trên $\left\lbrack {2;3} \right\rbrack$ là $\left. f(2) = \dfrac{\ln 2}{2}\Rightarrow\left\{ \begin{array}{l} {a = 1} \\ {b = 2} \end{array} \right.\Rightarrow a - 5b = - 9 \right.$

$S\left( {0;0;3\sqrt{2}} \right);B\left( {0;4;0} \right),C\left( {3;2;0} \right)$ và $A\left( {0;0;0} \right)$.

Vì $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $D$ nên $D\left( {3;0;0} \right)$.

$G$ là trọng tâm của tam giác $SBC$ nên $G\left( {1;2;\sqrt{2}} \right)$

$\left. \overset{\rightarrow}{AG} = \left( {1;2;\sqrt{2}} \right)\Rightarrow AG = \sqrt{7};\overset{\rightarrow}{BD} = \left( {3; - 4;0} \right)\Rightarrow BD = 5 \right.$

Do đó $\text{cos}\left( {\overset{\rightarrow}{AG};\overset{\rightarrow}{BD}} \right) = \dfrac{\overset{\rightarrow}{AG}.\overset{\rightarrow}{BD}}{AG.BD} = \dfrac{- 5}{\sqrt{7} \cdot 5} \approx - 0.4$

Vì ABCD là hình thang vuông tại A nên $\left. AD \parallel BC\Rightarrow\overset{\rightarrow}{AD} = k\overset{\rightarrow}{BC} \right.$ với $k > 0$

$\left. \Rightarrow\left\{ \begin{array}{l} {a - 1 = k.\left( {6 - 2} \right)} \\ {b - 2 = k.\left( {1 - 0} \right)} \\ {c - 1 = k.\left( {0 - \left( {- 1} \right)} \right)} \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {a = 4k + 1} \\ {b = k + 2} \\ {c = k + 1} \end{array} \right.\Rightarrow D\left( {4k + 1;k + 2;k + 1} \right) \right.$

Ta có $\left. \overset{\rightarrow}{BC} = \left( {4;1;1} \right)\Rightarrow BC = 3\sqrt{2} \right.$, $\left. \overset{\rightarrow}{AB}\left( {1; - 2; - 2} \right)\Rightarrow AB = 3 \right.$

Vì $\left. S_{ABCD} = \dfrac{1}{2}AB\left( {AD + BC} \right) = \dfrac{1}{2}.3\left( {AD + 3\sqrt{2}} \right) = 6\sqrt{2}\Rightarrow AD = \sqrt{2} \right.$

$\left. \Rightarrow AD^{2} = 2\Leftrightarrow\left( {4k} \right)^{2} + k^{2} + k^{2} = 2\Leftrightarrow k^{2} = \dfrac{1}{9}\Leftrightarrow k = \dfrac{1}{3} \right.$-

Khi đó $a + b + c = 6k + 4 = 6$

Khi bán $x$ mét vải lụa:

- Số tiền thu được là: $B(x)=220 x$ (nghìn đồng).

- Lợi nhuận thu được là: $L(x)=B(x)-C(x)=-x^3+3 x^2+240 x-500$ (nghìn đồng).

Hàm số $L(x)$ xác định trên $[1 ; 18]$.

Đạo hàm $L^{\prime}(x)=-3 x^2+6 x+240 ; L^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow x=10$ hoặc $x=-8$ (loại). 

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy khi $x=10$ hàm số đạt giá trị lớn nhất là 1200. Vậy lợi nhuận tối đa là 1200.

Ta có: $P'(t) = \dfrac{- a\left( {b + e^{- 0,75t}} \right)'}{\left( {b + e^{- 0,75t}} \right)^{2}} = \dfrac{0,75.a.e^{- 0,75t}}{\left( {b + e^{- 0,75t}} \right)^{2}} > 0$

Theo bài ra ta có hệ pt : $\left\{ \begin{array}{l} {P(0) = 20} \\ {P'(0) = 10} \end{array}\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {\dfrac{a}{b + e^{0}} = 20} \\ {\dfrac{0,75ae^{0}}{\left( {b + e^{0}} \right)^{2}} = 10} \end{array}\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {\dfrac{a}{b + 1} = 20(1)} \\ {\dfrac{0,75a}{{(b + 1)}^{2}} = 10(2)} \end{array} \right. \right. \right.$

Từ (1), $b + 1 = \dfrac{a}{20}$ thay vào (2) $\left. \dfrac{0,75a}{\left( \dfrac{a}{20} \right)^{2}} = 10\Leftrightarrow\dfrac{400 \cdot 0,75}{a} = 10\Leftrightarrow a = 40 \cdot 0,75 = 30 \right.$.

$\left. \Rightarrow b = \dfrac{30}{20} - 1 = 0,5\Rightarrow P(t) = \dfrac{30}{0,5 + e^{- 0,75t}} \right.$

Tốc độ sinh trưởng của nấm men là lớn nhất khi $v(t) = P'(t) = \dfrac{22,5\text{e}^{- 0,75t}}{\left( {0,5 + \text{e}^{- 0,75t}} \right)^{2}}$ lớn nhất.

Ta có $\left. v(t) = \dfrac{22,5\text{e}^{- 0,75t}}{\left( {0,5 + \text{e}^{- 0,75t}} \right)^{2}}\Rightarrow v'(t) = 0\Leftrightarrow t_{0} = 0,924196 \right.$

Khi đó số lượng tế bào của quân thể nấm men lớn nhất là $P\left( t_{0} \right) = 30$