Đề thi Đại học môn Toán khối A năm 2009

Câu 1: Cho hàm số y =   (1)1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc toạ độ .

Câu 2: Giải phương trình  = √3

Câu 3: Giải phương trình:  2 + 3 - 8 = 0 (x ∈ R)

Câu 4: Tính tích phân:  I =  (cos³ x – 1)cos² xdx

Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = AD = 2a, ;CD = a góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60⁰. Gọi I là trung điểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.

Câu 6: Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, y, z thoả mãn x(x + y + z) = 3yz,  ta có: (x + y)³ + ( x + z)³ + 3(x + y)(x + z)(y + z) ≤ 5(y + z)³

Câu 7: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm I (6; 2) là giao điểm của hai đường chéo AC và BD . Điểm M (1; 5) thuộc đường thẳng  AB  và trung điểm E của cạnh CD thuộc đường thẳng Δ : x + y − 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng AB .

Câu 8: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2 x − 2 y − z − 4 = 0 và mặt cầu (S) :x² + y² + z² − 2x − 4y − 6 z − 11 = 0. Chứng minh rằng mặt phẳng ( P )cắt mặt cầu (S ) theo một đường tròn. Xác định toạ độ tâm và tính bán kính của đường tròn đó.

Câu 9: Gọi z₁, z₂ là hai nghiệm phức của phương trình z² + 2z + 10 = 0. Tính giá trị biểu thức A = |z₁|² + |z₂|²

Câu 10: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x² + y² + 4x + 4y + 6 = 0 và đường thẳng ∆: x + my – 2m + 3 = 0, với m là tham số thực. Gọi I là tâm của đường tròn (C). Tìm m để ∆ cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho diện tích tam giác IAB lớn nhất

Câu 11: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : x − 2 y + 2 z −1 = 0 và hai đường thẳng ∆₁:  =  = , ∆₂:  =  = . Xác định tọa độ điểm M thuộc đường thẳng ∆₁ sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng ∆₂ và khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) bằng nhau