Có bao nhiêu giá trị nguyên của m nhỏ hơn 2018 để phương trình \(\dfrac{3}{{{{\sin }^2}x}} + 3{\tan ^2}x + \tan x + \cot x = m\) có nghiệm?

Câu 209094: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m nhỏ hơn 2018 để phương trình \(\dfrac{3}{{{{\sin }^2}x}} + 3{\tan ^2}x + \tan x + \cot x = m\) có nghiệm?

A. 2000

B. 2001

C. 2010

D. 2011

Câu hỏi : 209094

Đáp án : D
(4) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Hướng dẫn giải chi tiết

\(\begin{array}{l}\dfrac{3}{{{{\sin }^2}x}} + 3{\tan ^2}x + \tan x + \cot x = m\\ \Leftrightarrow 3\left( {1 + {{\cot }^2}x} \right) + 3{\tan ^2}x + \tan x + \cot x = m\\ \Leftrightarrow 3\left( {{{\tan }^2}x + {{\cot }^2}x} \right) + \left( {\tan x + \cot x} \right) = m - 3\end{array}\)

Đặt

\(\eqalign{
& t = \tan x + \cot x \Rightarrow {t^2} = {\tan ^2}x + {\cot ^2}x + 2 \Leftrightarrow {t^2} - 2 = {\tan ^2}x + {\cot ^2}x \cr
& {t^2} = {\tan ^2}x + {\cot ^2}x + 2 \ge 2\sqrt {{{\tan }^2}x{{\cot }^2}x} + 2 = 2 + 2 = 4 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t \ge 2 \hfill \cr
t \le - 2 \hfill \cr} \right. \cr}\)

Khi đó phương trình trở thành \(3\left( {{t^2} - 2} \right) + t = m - 3 \Leftrightarrow 3{t^2} + t - 3 = m\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = 3{t^2} + t - 3\) với \(t \in \left( { - \infty ; - 2} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)\) ta có BBT:

Dựa vào BBT ta thấy để phương trình có nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow m \geqslant 7\)

Vậy \(\left\{ \begin{array}{l}7 \le m < 2018\\m \in Z\end{array} \right. \Rightarrow \) Có \(\left( {2017 - 7} \right) + 1 = 2011\) giá trị của m.

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.