Cho hàm số \(y = f(x) = {x^3} + 6{x^2} + 9x + 3{\text{ }}\left( C \right)\).Tồn tại hai tiếp tuyến của (C) phân biệt và có cùng hệ số góc k, đồng thời đường thẳng đi qua các tiếp điểm của hai tiếp tuyến đó cắt các trục Ox, Oy tương ứng tại A và B sao cho \(OA = 2017.OB\). Hỏi có bao nhiêu giá trị của k thỏa mãn yêu cầu bài toán?

Câu 211003: Cho hàm số \(y = f(x) = {x^3} + 6{x^2} + 9x + 3{\text{ }}\left( C \right)\).Tồn tại hai tiếp tuyến của (C) phân biệt và có cùng hệ số góc k, đồng thời đường thẳng đi qua các tiếp điểm của hai tiếp tuyến đó cắt các trục Ox, Oy tương ứng tại A và B sao cho \(OA = 2017.OB\). Hỏi có bao nhiêu giá trị của k thỏa mãn yêu cầu bài toán?

A. \(0\)

B. \(1\)

C. \(2\)

D. \(3\)

Câu hỏi : 211003

Quảng cáo

Phương pháp giải:

Ta có tính chất sau: Mọi đường thẳng nối các tiếp điểm của 2 tiếp tuyến cùng hệ số góc của đồ thị hàm số bậc ba luôn đi qua điểm uốn của đồ thị hàm số đó

(điểm uốn là điểm thuộc đồ thị hàm số \(y = f(x)\), có hoành độ là nghiệm của phương trình \(y’’ = 0\))

Đáp án : C
(1) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Ta có \(y' = 3{x^2} + 12x + 9;y'' = 6x + 12 = 0 \Leftrightarrow x = -2\)

Điểm uốn của đồ thị hàm số là \(U(–2;1)\).

Xét đường thẳng \(d\) đi qua \(U(-2;1)\) có phương trình \(y = {k_d}\left( {x + 2} \right) + 1\) hay \(y = {k_d}x + 2{k_d} + 1\).

\(d\) cắt \(Ox, Oy\) lần lượt tại \(A\left( { - \dfrac{{2{k_d} + 1}}{{{k_d}}};0} \right),B\left( {0;2{k_d} + 1} \right)\).

\(OA = 2017.OB \Leftrightarrow \left| {\dfrac{{2{k_d} + 1}}{{{k_d}}}} \right| = 2017\left| {2{k_d} + 1} \right| \Leftrightarrow {k_d} = \pm \dfrac{1}{{2017}};{k_d} = - \dfrac{1}{2}\).

Nếu \({k_d} = - \dfrac{1}{2}\) thì \(y = - \dfrac{1}{2}x\) nên \(A \equiv B\) (loại).

Khi đó ta có hệ số góc của \(d\) là \({k_d} = \pm \dfrac{1}{{2017}}\)

Do đó có 2 đường thẳng \(d\) thỏa mãn

Từ đó suy ra có 2 giá trị \(k\) thỏa mãn bài toán

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.