Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, tam giác SBD cân tại S. Gọi M là điểm tùy ý trên AO. Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua M và song song với SA, BD cắt SO, SB, AB tại N, P, Q. Tứ giác MNPQ là hình gì?

Câu 212377: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, tam giác SBD cân tại S. Gọi M là điểm tùy ý trên AO. Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua M và song song với SA, BD cắt SO, SB, AB tại N, P, Q. Tứ giác MNPQ là hình gì?

A. Hình thang

B. Hình bình hành

C. Hình chữ nhật

D. Hình tam giác

Câu hỏi : 212377

Phương pháp giải:

- Dựa vào tính chất: Nếu hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right) \) và \(\left( \beta \right)\) có điểm chung M và lần lượt chứa hai đường thẳng song song d và d’ thì giao tuyến của \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) là đường thẳng đi qua M và song song với d và d’ để xác định thiết diện của hình chóp.

- Sử dụng các tính chất về đường cao, đường trung tuyến trong tam giác cân.

- Vận dụng các dấu hiệu nhận biết hình bình hành và hình chữ nhật.

Đáp án : C
(2) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:

Tam giác SBD cân tại S nên SB = SD.

Suy ra \(\Delta SBC = \Delta SDC\left( {c.c.c} \right) \Rightarrow \widehat {SCB} = \widehat {SCD}\).

Gọi I là trung điểm của SC.

Xét hai tam giác IBC và ICD có:

IC chung

BC = DC (ABCD là hình vuông)

\(\widehat {ICB} = \widehat {ICD}\,\left( {cmt} \right)\)

Do đó \(\Delta IBC = \Delta IDC\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow IB = ID\) hay tam giác \(IBD\) cân tại \(I\).

Do O là trung điểm của BD nên IO là đường trung tuyến trong tam giác cân \( \Rightarrow IO \bot BD.\)

Mà SA // IO nên \(SA \bot BD.\)

Ta có: \(\left\{ \matrix{ M \in \left( \alpha \right) \cap \left( {ABCD} \right) \hfill \cr   BD\parallel \left( \alpha \right) \hfill \cr   BD \subset \left( {ABCD} \right) \hfill \cr} \right.\)

Suy ra giao tuyến của \(\left( \alpha \right)\) với (ABCD) là đường thẳng qua M và song song với BD cắt AB tại Q \( \Rightarrow MQ\parallel BD.\,\,\left( 1 \right)\)

Ta có: \(\left\{ \matrix{ Q \in \left( \alpha \right) \cap \left( {SAB} \right) \hfill \cr   SA\parallel \left( \alpha \right) \hfill \cr   SA \subset \left( {SAB} \right) \hfill \cr} \right.\) suy ra giao tuyến của \(\left( \alpha \right)\) với (SAB) là đường thẳng đi qua Q và song song với SA cắt SB tại P. Do đó QP // SA (2).

Ta có: \(\left\{ \matrix{ P \in \left( \alpha \right) \cap \left( {SBD} \right) \hfill \cr   BD\parallel \left( \alpha \right) \hfill \cr   BD \subset \left( {SBD} \right) \hfill \cr} \right.\) suy ra giao tuyến của \(\left( \alpha \right)\) với (SBD) là đường thẳng đi qua P và song song với BD cắt SO tại N. Do đó PN // BD (3).

Ta có: \(\left\{ \matrix{ \left( \alpha \right) \cap \left( {SAC} \right) = MN \hfill \cr   SA\parallel \left( \alpha \right) \hfill \cr   SA \subset \left( {SAC} \right) \hfill \cr} \right. \Rightarrow MN\parallel SA.\) (4).

Từ (1) và (3) suy ra PN // MQ // BD, từ (2) và (4) suy ra QP // MN // SA. Do đó MNPQ là hình bình hành.

Lại có \(SA \bot BD \Rightarrow MN \bot MQ\).

Vậy MNPQ là hình chữ nhật.

Chọn C.

Chú ý:
Rất nhiều học sinh sau khi chứng minh được thiết diện là hình bình hành sẽ chọn luôn đáp án hình bình hành mà không để ý xem hình bình hành có điều gì đặc biệt để có thể “tiến hóa” thành một hình khác.

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.