Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, BC = AD = b, AC = BD = c. Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) song song với AB và CD cắt các cạnh của tứ diện theo một thiết diện là hình thoi. Diện tích thiết diện là:

Câu 212558: Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, BC = AD = b, AC = BD = c. Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) song song với AB và CD cắt các cạnh của tứ diện theo một thiết diện là hình thoi. Diện tích thiết diện là:

A. \({1 \over 2}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\)

B. \({1 \over 2}\left( {{a^2} - {b^2} + {c^2}} \right)\)

C. \({1 \over 2}\sqrt {\left( { - {a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\left( {{a^2} + {c^2} - {b^2}} \right)} \)

D. \({1 \over 4}\sqrt {\left( {{a^2} + {b^2} - {c^2}} \right)\left( {{a^2} + {c^2} - {b^2}} \right)} \)

Câu hỏi : 212558

Phương pháp giải:

- Đưa về cùng mặt phẳng.

- Sử dụng các yếu tố song song để xác định hình dạng của thiết diện.

- Điều kiện để thiết diện trở thành hình thoi.

- Công thức tính diện tích hình thoi \(S = {1 \over 2}{d_1}{d_2},\) trong đó \({d_1},{d_2}\) là độ dài hai đường chéo của hình thoi.

Đáp án : D
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:

Giả sử \(\left( \alpha \right)\) cắt các cạnh AD, AC, CB, BD theo thứ tự tại M, N, P, Q.

\(\left\{ \matrix{ CD//\left( \alpha \right),CD \subset \left( {ACD} \right) \hfill \cr M \in \left( \alpha \right) \cap \left( {ACD} \right) \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left( \alpha \right) \cap \left( {ACD} \right) = MN//CD\,\,\left( {N \in AC} \right)\)

Tương tự \(\left( \alpha \right) \cap \left( {BCD} \right) = PQ//CD\,\,\left( {Q \in BD} \right).\)

Khi đó: \(\left( \alpha \right) \cap \left( {ABD} \right) = MQ//AB,\left( \alpha \right) \cap \left( {ABC} \right) = NP//AB.\)

Hình bình hành MNPQ là thiết diện của hình chóp cắt bởi \(mp\left( \alpha \right)\).

Theo định lí Ta-let ta có:

\({{NP} \over {AB}} = {{CN} \over {CA}} \Rightarrow NP = {a \over c}CN,\,\,{{MN} \over {CD}} = {{AN} \over {AC}} \Rightarrow MN = {a \over b}AN.\)

Để MNPQ là hình thoi thì MN = NP\( \Rightarrow \) CN = AN hay N là trung điểm của AC. Từ đó suy ra M, P, Q lần lượt là trung điểm của AD, BC, BD.

Ta có:

\(\eqalign{ & \left\{ \matrix{ D{N^2} = {{A{D^2} + D{C^2}} \over 2} - {{A{C^2}} \over 4} = {{{b^2} + {a^2}} \over 2} - {{{c^2}} \over 4} \hfill \cr B{N^2} = {{A{B^2} + B{C^2}} \over 2} - {{A{C^2}} \over 4} = {{{b^2} + {a^2}} \over 2} - {{{c^2}} \over 4} \hfill \cr} \right. \cr & \Rightarrow DN = BN \cr} \)

\( \Rightarrow \Delta NBD\) cân tại N. Lại có Q là trung điểm của BD nên \(NQ \bot BD.\)

Do đó ta có: \(N{Q^2} = N{B^2} - B{Q^2} = {{{b^2} + {a^2}} \over 2} - {{{c^2}} \over 4} - {{{c^2}} \over 4} = {{{b^2} + {a^2} - {c^2}} \over 2}\).

Tương tự ta tính được \(M{P^2} = {{{c^2} + {a^2} - {b^2}} \over 2}.\)

Vậy \({S_{MNPQ}} = {1 \over 2}MP.NQ = {1 \over 2}\sqrt {{{{b^2} + {a^2} - {c^2}} \over 2}.{{{c^2} + {a^2} - {b^2}} \over 2}} = {1 \over 4}\sqrt {\left( {{b^2} + {a^2} - {c^2}} \right)\left( {{c^2} + {a^2} - {b^2}} \right)} \).

Chọn D.

Chú ý:
Học sinh thường quên hoặc nhầm lẫn về dấu trong công thức tính độ dài đường trung tuyến khi biết 3 cạnh của tam giác.

Tam giác ABC như hình vẽ:

Thì \(m_a^2 = {{{b^2} + {c^2}} \over 2} - {{{a^2}} \over 4}\)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.