Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho bất phương trình

\(3\left( \sqrt{1+x}+\sqrt{3-x} \right)-2\sqrt{\left( 1+x \right)\left( 3-x \right)}\ge m\) nghiệm đúng với mọi \(x\in \left[ -1;3 \right]?\)

Câu 221558: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho bất phương trình

\(3\left( \sqrt{1+x}+\sqrt{3-x} \right)-2\sqrt{\left( 1+x \right)\left( 3-x \right)}\ge m\) nghiệm đúng với mọi \(x\in \left[ -1;3 \right]?\)

A. \(m\le 6\sqrt{2}-4\)

B. \(m\ge 6\sqrt{2}-4\)

C. \(m\le 6\)

D. \(m\ge 6\)

Câu hỏi : 221558

Phương pháp giải:

Xét hàm số \(f(x)=3\left( \sqrt{1+x}+\sqrt{3-x} \right)-2\sqrt{1+x}\sqrt{3-x}\) tìm GTNN \(\min f\left( x \right)\) trên \(\left[ -1;3 \right]\).

Bất phương trình \(f\left( x \right)\ge m\) nghiệm đúng với mọi \(x\in \left[ -1;3 \right]\) nếu \(\underset{\left[ -1;3 \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)\ge m\).

Đáp án : A
(1) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
\(f(x)=3\left( \sqrt{1+x}+\sqrt{3-x} \right)-2\sqrt{1+x}\sqrt{3-x}\)

\(\Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{3}{2\sqrt{1+x}}-\frac{3}{2\sqrt{3-x}}-\frac{4\left( -x+1 \right)}{2\sqrt{1+x}\sqrt{3-x}}=0\)

\(\Leftrightarrow \frac{12\left( 1-x \right)}{\sqrt{3-x}\sqrt{x+1}}+\frac{4\left( -x+1 \right)}{2\sqrt{1+x}\sqrt{3-x}}=0\)

Giải phương trình trên ta thu được nghiệm duy nhất x = 1.

Lại có \(f(1)=6\sqrt{2}-4,f(-1)=f(3)=6,\) do đó hàm số đạt cực tiểu tại x = 1.

Từ đây ta suy ra với \(m\le 6\sqrt{2}-4\) thì bất phương trình đã cho có nghiệm đúng với mọi \(x\in \left[ -1;3 \right]\)

Chú ý:
HS cần phân biệt:

Điều kiện để bất phương trình \(f\left( x \right)\ge m\) nghiệm đúng với mọi \(x\in \left[ a;b \right]\) là \(\underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)\ge m\)

Điều kiện để bất phương trình \(f\left( x \right)\ge m\) có nghiệm trên \(\left[ a;b \right]\) là \(\underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)\ge m\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.