Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(BC=a\). Cạnh bên \(SA\) vuông góc với đáy, góc \(\widehat{SCA}=\widehat{BSC}={{30}^{0}}\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(CD\). Tính khoảng cách từ \(D\) đến mặt phẳng \(\left( SAM \right)\).

Câu 231192:

\(\frac{a}{\sqrt{3}}.\)

\(\frac{2a}{\sqrt{3}}.\)

\(\frac{a}{3}.\)

D. \(\frac{2a}{\sqrt{3}}.\)

Câu hỏi : 231192

Quảng cáo

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp kẻ chân đường cao từ điểm đến mặt phẳng (lý thuyết đường thẳng vuông góc với mặt phẳng) để xác định khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng

Đáp án : A
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:

Đặt \(AB=x\Rightarrow AC=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=\sqrt{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}\Rightarrow \)\(SA=AC.\tan \widehat{SCA}=\sqrt{\frac{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}{3}}.\)

Ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot SB \Rightarrow \Delta SBC\) vuông tại B, có \(SB=\frac{BC}{\tan \widehat{BSC}}=a\sqrt{3}.\)

Tam giác SAB vuông tại A, có \(S{{A}^{2}}+A{{B}^{2}}=S{{B}^{2}}\).

\(\Rightarrow \frac{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}{3}+{{x}^{2}}=3{{a}^{2}}\Leftrightarrow 4{{x}^{2}}=8{{a}^{2}}\Leftrightarrow x=a\sqrt{2}.\)

Kẻ \(DH\bot AM\), ta có \(\left\{ \begin{array}{l}SA \bot DH\\AM \bot DH\end{array} \right. \Rightarrow DH \bot \left( {SAM} \right)\).

\(\Rightarrow d\left( D;\left( SAM \right) \right)=DH\)

Xét \(\Delta AMD\) vuông tại \(D\), có \(\frac{1}{D{{H}^{2}}}=\frac{1}{A{{D}^{2}}}+\frac{1}{M{{D}^{2}}}=\frac{3}{{{a}^{2}}}\).

\(\Rightarrow DH=\frac{a}{\sqrt{3}}\Rightarrow d\left( D;\left( SAM \right) \right)=\frac{a}{\sqrt{3}}\).

Chọn A.

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.