Cho hàm số \(y=\frac{x+1}{x-1}\). M và N là hai điểm thuộc đồ thị hàm số sao cho tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M và N song song với nhau. Khẳng định nào sau đây là SAI?

Câu 250995: Cho hàm số \(y=\frac{x+1}{x-1}\). M và N là hai điểm thuộc đồ thị hàm số sao cho tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M và N song song với nhau. Khẳng định nào sau đây là SAI?

A. Hai điểm M và N đối xứng nhau qua gốc tọa độ.

B. Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đi qua trung điểm của đoạn thẳng MN.

C. Hai điểm M và N đối xứng nhau qua giao điểm của hai đường tiệm cận.

D. Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đi qua trung điểm của đoạn thẳng MN.

Câu hỏi : 250995

Quảng cáo

Phương pháp giải:

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M và N song song với nhau \(\Leftrightarrow y'\left( {{x}_{M}} \right)=y'\left( {{x}_{N}} \right)\,\,\,\left( {{x}_{M}}\ne {{x}_{N}} \right)\)

Đáp án : A
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
\(y=\frac{x+1}{x-1}=1+\frac{2}{x-1}\,\,\left( x\ne 1 \right)\Rightarrow y'=\frac{-2}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}\)

Gọi \(M\left( {{x}_{M}};1+\frac{2}{{{x}_{M}}-1} \right);\,\,N\left( {{x}_{M}};1+\frac{2}{{{x}_{N}}-1} \right)\) là hai điểm thuộc đồ thị hàm số.

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M và N song song với nhau \(\Leftrightarrow y'\left( {{x}_{M}} \right)=y'\left( {{x}_{N}} \right)\,\,\,\left( {{x}_{M}}\ne {{x}_{N}} \right)\)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \frac{{ - 2}}{{{{\left( {{x_M} - 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - 2}}{{{{\left( {{x_N} - 1} \right)}^2}}} \Leftrightarrow {\left( {{x_M} - 1} \right)^2} = {\left( {{x_N} - 1} \right)^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x_M} = {x_N}\,\,\,\left( {ktm} \right)\\
{x_M} - 1 = 1 - {x_N}\,\,\,\left( {tm} \right)
\end{array} \right. \Leftrightarrow {x_M} + {x_N} = 2\\
{y_M} + {y_N} = 1 + \frac{2}{{{x_M} - 1}} + 1 + \frac{2}{{{x_N} - 1}} = 2 + 2.\frac{{{x_M} - 1 + {x_N} - 1}}{{\left( {{x_M} - 1} \right)\left( {{x_N} - 1} \right)}} = 2.
\end{array}\)

Gọi I là trung điểm của MN ta có: \(I\left( 1;1 \right)\).

Dễ thấy đồ thị hàm số có TCN là \(y=1\) và tiệm cận đứng \(x=1\Rightarrow I\left( 1;1 \right)\) là giao điểm của hai đường tiệm cận \(\Rightarrow C\) đúng.

TCN \(y=1\) và tiệm cận đứng \(x=1\) rõ ràng đi qua trung điểm I của đoạn MN \(\Rightarrow B,D\) đúng.

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.