Cho hàm số \(f(x)\) xác định trên \(R\text{ }\!\!\backslash\!\!\text{ }\left\{ -1;1 \right\}\) và thỏa mãn: \(f'(x)=\frac{1}{{{x}^{2}}-1}\), \(f(-3)+f(3)=0\) và \(f\left( -\frac{1}{2} \right)+f\left( \frac{1}{2} \right)=2\). Tính giá trị của biểu thức \(P=f(0)+f(4)\).

Câu 254982:

\(P=1+\frac{1}{2}\ln \frac{3}{5}\).

\(P=\frac{1}{2}\ln \frac{3}{5}\).

\(P=1+\ln \frac{3}{5}\).

D. \(P=\ln \frac{3}{5}+2\).

Câu hỏi : 254982

Quảng cáo

Phương pháp giải:

\(\int{f'(x)dx}=f(x)+C\)

Đáp án : A
(35) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}f'(x) = \frac{1}{{{x^2} - 1}} \Rightarrow \int {f'(x)dx} = \int {\frac{1}{{{x^2} - 1}}dx} \Rightarrow f(x) = \int {\frac{1}{{(x - 1)(x + 1)}}dx} = \frac{1}{2}\int {\frac{1}{{x - 1}}dx + } \frac{1}{2}\int {\frac{1}{{x + 1}}dx = \frac{1}{2}\ln \left| {\frac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right| + C} \\ \Rightarrow f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{2}\ln \left| {\frac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right| + {C_1},\left[ \begin{array}{l}x < - 1\\x > 1\end{array} \right.\\\frac{1}{2}\ln \left| {\frac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right| + {C_2}, - 1 < x < 1\end{array} \right.\end{array}\)

Ta có:

\(f(-3)+f(3)=0\Leftrightarrow \frac{1}{2}\ln 2+{{C}_{1}}+\frac{1}{2}\ln \frac{1}{2}+{{C}_{1}}=0\Leftrightarrow 2{{C}_{1}}=0\Leftrightarrow {{C}_{1}}=0\).

\(f\left( -\frac{1}{2} \right)+f\left( \frac{1}{2} \right)=2\Leftrightarrow \frac{1}{2}\ln 3+{{C}_{2}}+\frac{1}{2}\ln \frac{1}{3}+{{C}_{2}}=2\Leftrightarrow {{C}_{2}}=1\)

\(P=f(0)+f(4)=\left( \frac{1}{2}\ln \left| \frac{0-1}{0+1} \right|+1 \right)+\left( \frac{1}{2}\ln \left| \frac{4-1}{4+1} \right| \right)=\frac{1}{2}\ln \frac{3}{5}+1\)

Chọn: A

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.