Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \(\left( Q \right):\,\,x - 2y + z - 5 = 0\) và mặt cầu (S): \({\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 10\). Mặt phẳng (P) song song mặt phẳng (Q) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn có chu vi \(4\pi \) đi qua điểm nào sao đây?

Câu 267397: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \(\left( Q \right):\,\,x - 2y + z - 5 = 0\) và mặt cầu (S): \({\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 10\). Mặt phẳng (P) song song mặt phẳng (Q) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn có chu vi \(4\pi \) đi qua điểm nào sao đây?

A. \(\left( { - 2;2; - 1} \right)\)

B. \(\left( {1; - 2;0} \right)\)

C. \(\left( {2; - 2;1} \right)\)

D. \(\left( {0; - 1; - 5} \right)\)

Câu hỏi : 267397

Quảng cáo

Phương pháp giải:

\(d\left( {I;\left( P \right)} \right) = \sqrt {{R^2} - {r^2}} \) trong đó R và r lần lượt là bán kính mặt cầu và bán kính đường tròn giao tuyến của (P) và mặt cầu.

Đáp án : A
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
\(\left( P \right)//\left( Q \right) \Rightarrow \) Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x - 2y + z + D = 0\,\,\left( {D \ne - 5} \right)\) .

Mặt cầu (S) có tâm \(I\left( {1;0; - 2} \right)\), bán kính \(R = \sqrt {10} \).

Đường tròn giao tuyến có bán kính \(r = \frac{{4\pi }}{{2\pi }} = 2\)

\( \Rightarrow \) Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) là \(d = \sqrt {{R^2} - {r^2}} = \sqrt {10 - 4} = \sqrt 6 \)

Ta có \(d\left( {I;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {1 - 2 + D} \right|}}{{\sqrt {1 + 4 + 1} }} = \sqrt 6 \Leftrightarrow \left| {D - 1} \right| = 6 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}D = 7\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\D = - 5\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\).

Vậy phương trình mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x - 2y + z + 7 = 0\).

Điểm \(\left( { - 2;2; - 1} \right)\) thuộc mặt phẳng (P) vì \( - 2 - 2.2 - 1 + 7 = 0\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.