Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết \(\angle BAC = {30^0},\,\,SA = a\) và \(BA = BC = a\). Gọi \(D\) là điểm đối xứng với \(B\) qua \(AC\). Khoảng cách từ \(B\) đến mặt \(\left( {SCD} \right)\) bằng :
Câu 308898: Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết \(\angle BAC = {30^0},\,\,SA = a\) và \(BA = BC = a\). Gọi \(D\) là điểm đối xứng với \(B\) qua \(AC\). Khoảng cách từ \(B\) đến mặt \(\left( {SCD} \right)\) bằng :
A. \(\dfrac{{\sqrt {21} }}{7}a\)
B. \(\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}a\)
C. \(\dfrac{{2\sqrt {21} }}{7}a\)
D. \(\dfrac{{\sqrt {21} }}{{14}}a\)
Quảng cáo
+) \(AB//CD \Rightarrow AB//\left( {SCD} \right) \Rightarrow d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {B;\left( {SCD} \right)} \right)\).
+) Dựng \(AH \bot CD,\,\,AK \bot SH\). Chứng minh \(AK \bot \left( {SCD} \right)\).
+) Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông tính \(AK\).
-
Đáp án : A(2) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Gọi \(O\) là trung điểm của \(AC \Rightarrow BO \bot AC \Rightarrow B,\,\,O,\,\,D\) thẳng hàng.
Ta có \(\Delta ABC\) cân tại \(B \Rightarrow \angle BAC = \angle BCA = {30^0} \Rightarrow \angle ABC = {120^0}\). Dễ thấy \(ABCD\) là hình thoi nên \(\angle ADC = \angle ABC = {120^0}\).
Trong \(\left( {ABCD} \right)\) kẻ \(AH \bot CD\,\,\left( {H \in CD} \right)\), trong \(\left( {SAH} \right)\) kẻ \(AK \bot SH\,\,\left( {K \in SH} \right)\).
Ta có : \(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AH\\CD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SAH} \right) \Rightarrow CD \bot AK\\\left\{ \begin{array}{l}AK \bot SH\\AK \bot CD\end{array} \right. \Rightarrow AK \bot \left( {SCD} \right) \Rightarrow d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right) = AK\end{array}\).
Lại có \(AB//CD \Rightarrow AB//\left( {SCD} \right) \Rightarrow d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {B;\left( {SCD} \right)} \right) = AK\).
Ta có : \(AH = AD.\sin \angle ADH = a.\sin 60 = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
Xét tam giác vuông SAH có : \(AK = \dfrac{{SA.AH}}{{\sqrt {S{A^2} + A{H^2}} }} = \dfrac{{a.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{\sqrt {{a^2} + \dfrac{{3{a^2}}}{4}} }} = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{7}\).
Vậy \(d\left( {B;\left( {SCD} \right)} \right) = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{7}\).
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com