Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\) thỏa mãn \(3f\left( x \right) + xf'\left( x \right) = {x^{2018}}\), với mọi \(x \in \left[ {0;1} \right]\). Tính \(I = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} \).
Câu 312462:
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\) thỏa mãn \(3f\left( x \right) + xf'\left( x \right) = {x^{2018}}\), với mọi \(x \in \left[ {0;1} \right]\). Tính \(I = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} \).
A. \(I = \dfrac{1}{{2018.2021}}\).
B. \(I = \dfrac{1}{{2019.2020}}\).
C. \(I = \dfrac{1}{{2019.2021}}\).
D. \(I = \dfrac{1}{{2018.2019}}\).
\({\left( {{x^k}.f\left( x \right)} \right)^\prime } = {x^k}.f'\left( x \right) + k{x^{k - 1}}.f\left( x \right),\,\,k \in \mathbb{N}.\) Chọn \(k = 3\), ta có: \({\left( {{x^3}.f\left( x \right)} \right)^\prime } = {x^3}.f'\left( x \right) + 3{x^2}.f\left( x \right)\)
-
Đáp án : C(17) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Ta có: \(3f\left( x \right) + xf'\left( x \right) = {x^{2018}}\, \Rightarrow {x^3}.f'\left( x \right) + 3{x^2}.f\left( x \right) = {x^{2020}} \Leftrightarrow {\left( {{x^3}.f\left( x \right)} \right)^\prime } = {x^{2020}}\)
\( \Rightarrow \int {{{\left( {{x^3}.f\left( x \right)} \right)}^\prime }dx} = \int {{x^{2020}}} dx \Leftrightarrow {x^3}.f\left( x \right) = \dfrac{{{x^{2021}}}}{{2021}} + C \Rightarrow f\left( x \right) = \dfrac{{{x^{2018}}}}{{2021}} + \dfrac{C}{{{x^3}}}\)
Do \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\) nên \(C = 0 \Rightarrow f\left( x \right) = \dfrac{{{x^{2018}}}}{{2021}}\)
\(I = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^{2018}}}}{{2021}}dx} = \left. {\left( {\dfrac{{{x^{2019}}}}{{2019.2021}}} \right)} \right|_0^1 = \dfrac{1}{{2019.2021}}\).
Chọn: C
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com