Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân \(AB = BC = 2a\), cạnh bên \(SA = 2a\) và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm của cạnh AB.

a) Chứng minh \(BC \bot (SAB)\).

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CM.

Câu 320428: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân \(AB = BC = 2a\), cạnh bên \(SA = 2a\) và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm của cạnh AB.

a) Chứng minh \(BC \bot (SAB)\).

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CM.

A. \(d\left( {SB;CM} \right) = \dfrac{{a}}{3}\)

B. \(d\left( {SB;CM} \right) = \dfrac{{2a}}{3}\)

C. \(d\left( {SB;CM} \right) = \dfrac{{a}}{2}\)

D. \(d\left( {SB;CM} \right) = \dfrac{{4a}}{3}\)

Câu hỏi : 320428

Phương pháp giải:

a) \(\left\{ \begin{array}{l}d \bot a\\d \bot b\\a \cap b \subset \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow d \bot \left( P \right)\)

b) Gọi \(N\) là trung điểm của \(SA\), chứng minh \(d\left( {SB;CM} \right) = d\left( {S;\left( {MNC} \right)} \right)\).

Sử dụng phương pháp đổi điểm, đưa về tính khoảng cách từ \(A\) đến \(\left( {MNC} \right)\).

Đáp án : B
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:

có \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\,\,\left( {gt} \right)\\BC \bot SA\,\,\left( {SA \bot \left( {ABC} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)\).

b) Gọi \(N\) là trung điểm của \(SA\) ta có \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(SAB\).

\( \Rightarrow MN//SB \Rightarrow d\left( {SB;CM} \right) = d\left( {SB;\left( {MNC} \right)} \right) = d\left( {S;\left( {MNC} \right)} \right)\)

Ta có

\(\begin{array}{l}SA \cap \left( {CMN} \right) = N \Rightarrow \dfrac{{d\left( {S;\left( {CMN} \right)} \right)}}{{d\left( {A;\left( {CMN} \right)} \right)}} = \dfrac{{SN}}{{AN}} = 1\\ \Rightarrow d\left( {S;\left( {CMN} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {CMN} \right)} \right)\end{array}\).

Trong \(\left( {ABC} \right)\) có \(AH \bot CM\,\,\left( {H \in CM} \right)\).

Trong \(\left( {AHN} \right)\) kẻ \(AK \bot NH\,\,\left( {K \in NH} \right)\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}CM \bot AH\\CM \bot SA\,\,\left( {SA \bot \left( {ABC} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow CM \bot \left( {AHN} \right) \Rightarrow CM \bot AK\).

\(\left\{ \matrix{
AK \bot CM \hfill \cr
AK \bot NH \hfill \cr} \right. \Rightarrow AK \bot \left( {CMN} \right) \Rightarrow d\left( {A;\left( {CMN} \right) = AK} \right)\)

Gọi \(E,\,\,F\) lần lượt là trung điểm của \(AC,\,\,AE\).

Ta có: \({S_{AMC}} = \dfrac{1}{2}MF.AC = \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}BE.AC = \dfrac{1}{2}{S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}AB.BC = \dfrac{{2a.2a}}{4} = {a^2}\).

Ta có: \(MC = \sqrt {B{C^2} + B{M^2}} = \sqrt {4{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 5 \).

Lại có \({S_{AMC}} = \dfrac{1}{2}AH.MC \Rightarrow AH = \dfrac{{2{S_{AMC}}}}{{MC}} = \dfrac{{2{a^2}}}{{a\sqrt 5 }} = \dfrac{{2a}}{{\sqrt 5 }}\).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(AHN\) ta có :

\(AK = \dfrac{{AH.AN}}{{\sqrt {A{H^2} + A{N^2}} }} = \dfrac{{a.\dfrac{{2a}}{{\sqrt 5 }}}}{{\sqrt {{a^2} + \dfrac{{4{a^2}}}{5}} }} = \dfrac{{2a}}{3}\).

Vậy \(d\left( {SB;CM} \right) = \dfrac{{2a}}{3}\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.