Cho lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có cạnh \(AA' = a,\) đáy là tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(BC = 2a\), \(AB = a\sqrt 3 \). Tính khoảng cách từ đường thẳng \(AA'\) đến mặt phẳng \(\left( {BCC'B'} \right)\).

Câu 391724: Cho lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có cạnh \(AA' = a,\) đáy là tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(BC = 2a\), \(AB = a\sqrt 3 \). Tính khoảng cách từ đường thẳng \(AA'\) đến mặt phẳng \(\left( {BCC'B'} \right)\).

A. \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

B. \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

C. \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\)

D. \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}\)

Câu hỏi : 391724

Phương pháp giải:

- Khoảng cách từ đường thẳng \(d\) đến mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) song song với \(d\) là khoảng cách từ một điểm bất kì trên đường thẳng \(d\) đến mp\(\left( \alpha \right)\).

- Xác định khoảng cách từ \(A\) đến \(\left( {BCC'B'} \right)\) bằng cách tìm hình chiếu vuông góc của \(A\) lên \(\left( {BCC'B'} \right)\).

Đáp án : A
(3) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:

Do \(ABC.A'B'C'\) là lăng trụ nên \(AA'\parallel BB'\parallel CC' \Rightarrow AA'\parallel \left( {BCC'B'} \right)\)

Do đó, \(d\left( {AA';\left( {BCC'B'} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {BCC'B'} \right)} \right)\).

Trong \(\left( {ABC} \right)\) qua \(A\) kẻ \(AH \bot BC\,\,\,\left( {H \in BC} \right)\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Ta có: \(ABC.A'B'C'\) là lăng trụ đứng nên \(BB' \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow BB' \bot AH\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AH \bot \left( {BCC'B'} \right)\) hay \(d\left( {A;\left( {BCC'B'} \right)} \right) = AH\).

Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(BC = 2a,\,\,AB = \sqrt 3 a\)\( \Rightarrow AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}} = a.\) .

Do đó, \(AH = \dfrac{{AB.AC}}{{BC}} = \dfrac{{\sqrt 3 a}}{2}\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông).

Vậy \(d\left( {AA';\left( {BCC'B'} \right)} \right) = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Chọn A.

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.