Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số : \(y = x\sqrt[3]{{1 - x}};\)\(y = 0;\)\(x = 1;\)\(x = 9\) là

Câu 402678: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số : \(y = x\sqrt[3]{{1 - x}};\)\(y = 0;\)\(x = 1;\)\(x = 9\) là

A. \(S = \dfrac{{468}}{7}.\)

B. \(S = \dfrac{{568}}{{11}}.\)

C. \(S = \dfrac{{468}}{{11}}.\)

D. \(S = \dfrac{{467}}{9}.\)

Câu hỏi : 402678

Phương pháp giải:

- Xét phương trình hoành độ giao điểm, tìm các nghiệm thuộc \(\left[ {1;9} \right]\).

- Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), \(y = g\left( x \right)\), đường thẳng \(x = a,\,\,x = b\) là: \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \).

- Sử dụng phương pháp đổi biến, đặt \(t = \sqrt[3]{{1 - x}}.\)

Đáp án : A
(2) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Xét phương trình hoành độ giao điểm: \(x\sqrt[3]{{1 - x}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \notin \left[ {1;9} \right]\\x = 1\end{array} \right.\).

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số \(y = x\sqrt[3]{{1 - x}};\) \(y = 0;\) \(x = 1;\) \(x = 9\) là: \(S = \int\limits_1^9 {\left| {x\sqrt[3]{{1 - x}}} \right|dx} = \left| {\int\limits_1^9 {x\sqrt[3]{{1 - x}}dx} } \right|\)

Đặt \(t = \sqrt[3]{{1 - x}} \Leftrightarrow {t^3} = 1 - x\)\( \Leftrightarrow 3{t^2}dt = - dx.\)

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow t = 0\\x = 9 \Rightarrow t = - 2\end{array} \right.\).

Khi đó

\(\begin{array}{l}S = \left| { - 3\int\limits_0^{ - 2} {\left( {1 - {t^3}} \right).t.{t^2}dt} } \right| = \left| {3\int\limits_0^{ - 2} {\left( {{t^6} - {t^3}} \right)dt} } \right|\\\,\,\,\,\, = \left| {\left. {3\left( {\dfrac{{{t^7}}}{7} - \dfrac{{{t^4}}}{4}} \right)} \right|_0^{ - 2}} \right| = \left| {3\left( { - \dfrac{{156}}{7}} \right)} \right| = \dfrac{{468}}{7}\end{array}\)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.