Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {z + i - 1} \right| = \left| {\overline z - 2i} \right|\). Giá trị nhỏ nhất \(\left| z \right|\) là:

Câu 402717: Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {z + i - 1} \right| = \left| {\overline z - 2i} \right|\). Giá trị nhỏ nhất \(\left| z \right|\) là:

A. \(\sqrt 2 \)

B. \(2\sqrt 2 \)

C. \(\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\)

D. \(\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\)

Câu hỏi : 402717

Phương pháp giải:

- Đặt \(z = x + yi \Rightarrow \overline z = x - yi\).

- Thay vào giả thiết, tìm quỹ tích các điểm biểu diễn số phức \(z\) là 1 đường thẳng \(d\).

- Khi đó \(\left| z \right|\) nhỏ nhất \( \Leftrightarrow \left| z \right| = d\left( {O;d} \right)\).

- Khoảng cách từ \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) đến đường thẳng \(d:\,\,ax + by + c = 0\) là \(d\left( {M;d} \right) = \dfrac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c{z_0}} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\).

Đáp án : C
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Đặt \(z = x + yi \Rightarrow \overline z = x - yi\)

Khi đó

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\left| {z + i - 1} \right| = \left| {\overline z - 2i} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {x + yi + i - 1} \right| = \left| {x - yi - 2i} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {\left( {x - 1} \right) + \left( {y + 1} \right)i} \right| = \left| {x - \left( {y + 2} \right)i} \right|\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = {x^2} + {\left( {y + 2} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 + {y^2} + 2y + 1 = {x^2} + {y^2} + 4y + 4\\ \Leftrightarrow 2x + 2y + 2 = 0\\ \Leftrightarrow x + y + 1 = 0\end{array}\)

Do đó tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(z\) là đường thẳng \(\left( d \right):\,\,x + y + 1 = 0\).

Khi đó \(\left| z \right| = OM\) đạt giá trị nhỏ nhất \( \Leftrightarrow OM = d\left( {O;d} \right) = \dfrac{{\left| {0 + 0 + 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.