Cho hình chóp S.ABC có đáy \(\Delta ABC\) cân tại A, \(AB = AC = a,\) \(\widehat {BAC} = {120^0}\). SA vuông góc với đáy, SA = a. Tính góc giữa:

a) (SAB) và (SAC)

b) (SBC) và (ABC)

c) (SBC) và (SAC)

Câu 406010: Cho hình chóp S.ABC có đáy \(\Delta ABC\) cân tại A, \(AB = AC = a,\) \(\widehat {BAC} = {120^0}\). SA vuông góc với đáy, SA = a. Tính góc giữa:

a) (SAB) và (SAC)

b) (SBC) và (ABC)

c) (SBC) và (SAC)

A. \(60^o\); \(arctan 2\); \(arcsin \dfrac{{\sqrt {10} }}{5}\).

B. \(30^o\); \(arctan 2\); \(arcsin \dfrac{{\sqrt {10} }}{5}\).

C. \(45^o\); \(arctan 2\); \(arcsin \dfrac{{\sqrt {10} }}{5}\).

D. \(90^o\); \(arctan 2\); \(arcsin \dfrac{{\sqrt {10} }}{5}\)

Câu hỏi : 406010

Phương pháp giải:

Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.

Đáp án : A
(45) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:

a) (SAB) và (SAC)

+ \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \cap \left( {SAC} \right) = SA\\AB \subset \left( {SAB} \right);\,\,AB \bot SA\\AC \subset \left( {SAC} \right);\,\,AC \bot SA\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \angle \left[ {\left( {SAB} \right);\left( {SAC} \right)} \right] = \angle \left( {AB;AC} \right) = 180^0 - 120^0 = {60^0}\).

b) (SBC) và (ABC)

+ Gọi M là trung điểm của BC, tam giác ABC cân tại A \( \Rightarrow AM \bot BC\).

+ \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AM\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAM} \right) \Rightarrow BC \bot SM\).

+ \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\SM \subset \left( {SBC} \right),\,\,SM \bot BC\\AM \subset \left( {ABC} \right),\,\,AM \bot BC\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \angle \left[ {\left( {SBC} \right);\left( {ABC} \right)} \right] = \angle \left( {SM;AM} \right) = \angle SMA\).

+ Tam giác ABC cân tại A có \(\angle BAC = {120^0} \Rightarrow \angle ABM = {30^0}\).

    Xét tam giác vuông ABM có: \(AM = AB.\sin {30^0} = \dfrac{a}{2}\).

    Xét tam giác vuông SAM có: \(\tan \angle SMA = \dfrac{{SA}}{{AM}} = \dfrac{a}{{\dfrac{a}{2}}} = 2\).

\( \Rightarrow \angle SMA = \arctan 2\).

Vậy \(\angle \left[ {\left( {SBC} \right);\left( {ABC} \right)} \right] = \arctan 2\).

c) (SBC) và (SAC)

Trong (ABC) kẻ \(BH \bot AC\,\,\left( {H \in AC} \right)\). Trong (SBC) kẻ \(BK \bot SC\,\,\left( {K \in SC} \right)\).

+ \(\left\{ \begin{array}{l}BH \bot AC\\BH \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BH \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BH \bot SC\).

+ \(\left\{ \begin{array}{l}BH \bot SC\\BK \bot SC\end{array} \right. \Rightarrow SC \bot \left( {BHK} \right) \Rightarrow SC \bot HK\).

+ \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {SAC} \right) = SC\\BK \subset \left( {SBC} \right);\,\,BK \bot SC\\HK \subset \left( {SAC} \right);\,\,HK \bot SC\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \angle \left[ {\left( {SBC} \right);\left( {SAC} \right)} \right] = \angle \left( {BK;HK} \right) = \angle BKH\).

+ Do \(BH \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BH \bot HK\) \( \Rightarrow \Delta BHK\) vuông tại H.

+ Do \(\angle BAC = {120^0} \Rightarrow \angle BAH = {60^0}\). Xét tam giác vuông ABH có: \(BH = AB.\sin {60^0} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

   Áp dụng định lí Pytago và định lí Cosin trong tam giác ta có:

   \(\begin{array}{l}SB = \sqrt {S{A^2} + A{B^2}} = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 \\SC = \sqrt {S{A^2} + A{C^2}} = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 \\BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.\cos {{120}^0}} = a\sqrt 3 \end{array}\)

   \( \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \sqrt {p\left( {p - SA} \right)\left( {p - SB} \right)\left( {p - BC} \right)} = \dfrac{{{a^2}\sqrt {15} }}{4}\) với \(p = \dfrac{{a\sqrt 2 + a\sqrt 2 + a\sqrt 3 }}{2}\) là nửa chu vi tam giác SBC.

   \( \Rightarrow BK = \dfrac{{2{S_{\Delta SBC}}}}{{SC}} = \dfrac{{\dfrac{{{a^2}\sqrt {15} }}{2}}}{{a\sqrt 2 }} = \dfrac{{a\sqrt {30} }}{4}\).

+ Xét tam giác vuông BHK có: \(\sin \angle BKH = \dfrac{{BH}}{{BK}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}:\dfrac{{a\sqrt {30} }}{4} = \dfrac{{\sqrt {10} }}{5}\).

\( \Rightarrow \angle BKH = \arcsin \dfrac{{\sqrt {10} }}{5}\).

Vậy \(\angle \left[ {\left( {SBC} \right);\left( {SAC} \right)} \right] = \arcsin \dfrac{{\sqrt {10} }}{5}\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.