Cho hàm số \(y = \dfrac{{2x + 1}}{{x + 1}}\), có đồ thị là \(\left( C \right)\). Từ điểm \(M\left( {m; - 2} \right)\) kẻ được hai tiếp tuyến đến đồ thị \(\left( C \right)\) thì giá trị của m là:

Câu 406067: Cho hàm số \(y = \dfrac{{2x + 1}}{{x + 1}}\), có đồ thị là \(\left( C \right)\). Từ điểm \(M\left( {m; - 2} \right)\) kẻ được hai tiếp tuyến đến đồ thị \(\left( C \right)\) thì giá trị của m là:

\(m \in \left( { - \infty ;\dfrac{3}{4}} \right)\backslash \left\{ { - 1} \right\}\)

B. \(m \in \left( { - \infty ; - \dfrac{3}{4}} \right)\)

C. \(m \in \left( { - \infty ;\dfrac{3}{4}} \right)\)

D. \(m \in \left( { - \infty ; - \dfrac{3}{4}} \right)\backslash \left\{ { - 1} \right\}\)

Câu hỏi : 406067

Phương pháp giải:

- Viết phương trình đường thẳng có hệ số góc k và đi qua điểm M: \(y = k\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\) (d).

- d tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) = g\left( x \right)\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\f'\left( x \right) = g\left( x \right)\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\) có nghiệm.

- Thay (2) vào (1), tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

Đáp án : D
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
ĐKXĐ: \(x \ne - 1\).

Phương trình đường thẳng d đi qua M và có hệ số góc k là: \(y = k\left( {x - m} \right) - 2\).

Để d tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{2x + 1}}{{x + 1}} = k\left( {x - m} \right) - 2\,\,\,\left( 1 \right)\\\dfrac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = k\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\) có nghiệm.

Thay (2) vào (1) ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\dfrac{{2x + 1}}{{x + 1}} = \dfrac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\left( {x - m} \right) - 2\\ \Leftrightarrow \left( {2x + 1} \right)\left( {x + 1} \right) = x - m - 2{\left( {x + 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 2{x^2} + 3x + 1 = x - m - 2{x^2} - 4x - 2\\ \Leftrightarrow 4{x^2} + 6x + m + 3 = 0\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Để từ M kẻ được đúng 2 tiếp tuyến đến đồ thị (C) thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm phân biệt khác -1.

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = 9 - 4\left( {m + 3} \right) > 0\\4 - 6 + m + 3 \ne 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4m - 3 > 0\\m + 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < - \dfrac{3}{4}\\m \ne - 1\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(m \in \left( { - \infty ; - \dfrac{3}{4}} \right)\backslash \left\{ { - 1} \right\}\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.