Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\) cho \(A\left( {0;1;0} \right)\), \(B\left( {2;2;2} \right)\), \(C\left( { - 2;3;1} \right)\) và đường thẳng \(d:\,\,\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y + 2}}{{ - 1}} = \dfrac{{z - 3}}{2}\). Tìm điểm \(M \in d\) sao cho thể tích tứ diện \(MABC\) bằng \(3\).

Câu 436764: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\) cho \(A\left( {0;1;0} \right)\), \(B\left( {2;2;2} \right)\), \(C\left( { - 2;3;1} \right)\) và đường thẳng \(d:\,\,\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y + 2}}{{ - 1}} = \dfrac{{z - 3}}{2}\). Tìm điểm \(M \in d\) sao cho thể tích tứ diện \(MABC\) bằng \(3\).

A. \(\left( { - \dfrac{3}{2}; - \dfrac{3}{4};\dfrac{1}{2}} \right)\); \(\left( { - \dfrac{{15}}{2};\dfrac{9}{4}; - \dfrac{{11}}{2}} \right)\)

B. \(\left( { - \dfrac{3}{5}; - \dfrac{3}{4};\dfrac{1}{2}} \right)\); \(\left( { - \dfrac{{15}}{2};\dfrac{9}{4};\dfrac{{11}}{2}} \right)\)

C. \(\left( {\dfrac{3}{2}; - \dfrac{3}{4};\dfrac{1}{2}} \right)\); \(\left( {\dfrac{{15}}{2};\dfrac{9}{4};\dfrac{{11}}{2}} \right)\)

D. \(\left( {\dfrac{3}{5}; - \dfrac{3}{4};\dfrac{1}{2}} \right)\); \(\left( {\dfrac{{15}}{2};\dfrac{9}{4};\dfrac{{11}}{2}} \right)\)

Câu hỏi : 436764

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức: \({V_{ABCD}} = \dfrac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AM} } \right|\).

Đáp án : A
(4) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Giả sử \(M\left( {a;b;c} \right) \in d\) ta có: \(\dfrac{{a - 1}}{2} = \dfrac{{b + 2}}{{ - 1}} = \dfrac{{c - 3}}{2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - a + 1 = 2b + 4\\2b + 4 = - c + 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 2b - 3\\c = - 2b - 1\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow M\left( { - 2b - 3;b; - 2b - 1} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {2;1;2} \right);\,\,\overrightarrow {AC} = \left( { - 2;2;1} \right)\); \(\overrightarrow {AM} = \left( {a;b - 1;c} \right) = \left( { - 2b - 3;b - 1; - 2b - 1} \right)\).

\(\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 3; - 6;6} \right)\)

\(\begin{array}{l}\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AM} = - 3.\left( { - 2b - 3} \right) - 6\left( {b - 1} \right) + 6\left( { - 2b - 1} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = - 12b + 9\end{array}\)

\( \Rightarrow {V_{ABCD}} = \dfrac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AM} } \right| = \dfrac{1}{6}\left| {12b - 9} \right| = \dfrac{1}{2}\left| {4b - 3} \right|\).

Theo bài ra ta có: \(\dfrac{1}{2}\left| {4b - 3} \right| = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = \dfrac{9}{4}\\b = - \dfrac{3}{4}\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}M\left( { - \dfrac{{15}}{2};\dfrac{9}{4}; - \dfrac{{11}}{2}} \right)\\M\left( { - \dfrac{3}{2}; - \dfrac{3}{4};\dfrac{1}{2}} \right)\end{array} \right.\) .

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.