Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(A\), \(AB = a\), \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SA = 2a\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\) (tham khảo hình bên). Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AC\) và \(SM\) bằng:

Câu 451127: Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(A\), \(AB = a\), \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SA = 2a\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\) (tham khảo hình bên). Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AC\) và \(SM\) bằng:

A. \(\dfrac{a}{2}\)

B. \(\dfrac{{\sqrt 2 a}}{2}\)

C. \(\dfrac{{2\sqrt {17} a}}{{17}}\)

D. \(\dfrac{{2a}}{3}\)

Câu hỏi : 451127

Quảng cáo

Đáp án : C
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:

Gọi \(N\) là trung điểm của \(AB\) \( \Rightarrow AC//MN\).

\( \Rightarrow AC//\left( {SNM} \right) \Rightarrow d\left( {AC;SM} \right) = d(AC;\left( {SNM} \right) = d(A;\left( {SNM} \right)\)

Kẻ \(AH \bot SN\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\).

Do \(MN//AC\) \( \Rightarrow MN \bot AB\). Mà \(MN \bot SA\)

\( \Rightarrow MN \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow MN \bot AH\,\,\,\,\left( 2 \right)\).

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow AH \bot \left( {SMN} \right)\) \( \Rightarrow d(A;\left( {SMN} \right) = AH\).

Xét \(\Delta SAN\) vuông tại \(A\) có\(AH = \dfrac{{SA.AN}}{{SN}} = \dfrac{{SA.SN}}{{\sqrt {S{A^2} + A{N^2}} }} = \dfrac{{2a.\dfrac{a}{2}}}{{\sqrt {4{a^2} + \dfrac{{{a^2}}}{4}} }} = \dfrac{{2a\sqrt {17} }}{{17}}\)

Vậy \(d\left( {AC;SM} \right) = AH = \dfrac{{2a\sqrt {17} }}{{17}}\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.