Có bao nhiêu số nguyên \(m\) để hàm số \(f\left( x \right) = 3x + m\sqrt {{x^2} + 1} \) đồng biến trên \(\mathbb{R}\)?

Câu 472006: Có bao nhiêu số nguyên \(m\) để hàm số \(f\left( x \right) = 3x + m\sqrt {{x^2} + 1} \) đồng biến trên \(\mathbb{R}\)?

A. \(5\)

B. \(1\)

C. \(7\)

D. \(2\)

Câu hỏi : 472006

Phương pháp giải:

- Tính đạo hàm \(f'\left( x \right)\).

- Để hàm số \(f\left( x \right) = 3x + m\sqrt {{x^2} + 1} \) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) thì \(f'\left( x \right) \ge 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\) và bằng 0 tại hữu hạn điểm.

- Chia TH của \(x\), cô lập \(m\).

- Giải các bất phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}m \ge f\left( x \right)\,\,\forall x \in \left[ {a;b} \right] \Rightarrow m \ge \mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right)\\m \le f\left( x \right)\,\,\forall x \in \left[ {a;b} \right] \Rightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right)\end{array} \right.\).

Đáp án : C
(4) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).

Ta có \(f\left( x \right) = 3x + m\sqrt {{x^2} + 1} \Rightarrow f'\left( x \right) = 3 + \dfrac{{mx}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\).

Để hàm số \(f\left( x \right) = 3x + m\sqrt {{x^2} + 1} \) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) thì \(f'\left( x \right) \ge 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\) và bằng 0 tại hữu hạn điểm.

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3 + \dfrac{{mx}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} \ge 0\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \dfrac{{3\sqrt {{x^2} + 1} + mx}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} \ge 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow 3\sqrt {{x^2} + 1} + mx \ge 0\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow mx \ge - 3\sqrt {{x^2} + 1} \,\,\forall x \in \mathbb{R}\end{array}\)

TH1: \(x = 0 \Rightarrow 0 \ge - 3\) (luôn đúng).

TH2: \(x > 0 \Rightarrow m \ge \dfrac{{ - 3\sqrt {{x^2} + 1} }}{x} = f\left( x \right)\) \( \Rightarrow m \ge \mathop {\max }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} f\left( x \right)\,\,\,\left( 1 \right)\).

TH2: \(x < 0 \Rightarrow m \le \dfrac{{ - 3\sqrt {{x^2} + 1} }}{x} = f\left( x \right)\) \( \Rightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{\left( { - \infty ;0} \right)} f\left( x \right)\,\,\,\left( 2 \right)\).

Xét hàm số \(f\left( x \right) = - \dfrac{{3\sqrt {{x^2} + 1} }}{x}\,\,\left( {x \ne 0} \right)\) ta có \(f'\left( x \right) = \dfrac{{\dfrac{{ - 3x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}x + 3\sqrt {{x^2} + 1} }}{{{x^2}}} = \dfrac{3}{{{x^2}\sqrt {{x^2} + 1} }} > 0\,\,\forall x \ne 0\).

BBT:

Dựa vào BBT ta thấy \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow m \ge - 3,\,\,\left( 2 \right) \Leftrightarrow m \le 3\) \( \Rightarrow - 3 \le m \le 3\).

Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 3; - 2; - 1;0;1;2;3} \right\}\).

Vậy có 7 giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.