Biết \(\int\limits_1^e {\dfrac{{\sqrt {1 + 3\ln x} .\ln x}}{x}dx} = \dfrac{a}{b}\) với \(a,\,\,b \in \mathbb{N}\) và \(\dfrac{a}{b}\) là phân số tối giản. Khẳng định nào đúng?

Câu 477953: Biết \(\int\limits_1^e {\dfrac{{\sqrt {1 + 3\ln x} .\ln x}}{x}dx} = \dfrac{a}{b}\) với \(a,\,\,b \in \mathbb{N}\) và \(\dfrac{a}{b}\) là phân số tối giản. Khẳng định nào đúng?

A. \(a - b < - 19\)

B. \(135a = 116b\)

C. \(a + b = 19\)

D. \({a^2} + {b^2} = 1\)

Câu hỏi : 477953

Quảng cáo

Phương pháp giải:

Đổi biến \(t = \sqrt {1 + 3\ln x} \).

Đáp án : B
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Đặt \(t = \sqrt {1 + 3\ln x} \Rightarrow {t^2} = 1 + 3\ln x \Rightarrow 2tdt = 3\dfrac{{dx}}{x}\).
Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow t = 1\\x = e \Rightarrow t = 2\end{array} \right.\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}\int\limits_1^e {\dfrac{{\sqrt {1 + 3\ln x} .\ln x}}{x}dx} = \int\limits_1^2 {t.\dfrac{{{t^2} - 1}}{3}.\dfrac{{2tdt}}{3}} \\ = \dfrac{2}{9}\int\limits_1^2 {\left( {{t^2} - 1} \right){t^2}dt} = \dfrac{2}{9}\int\limits_1^2 {\left( {{t^4} - {t^2}} \right)dt} \\ = \dfrac{2}{9}\left. {\left( {\dfrac{{{t^5}}}{5} - \dfrac{{{t^3}}}{3}} \right)} \right|_1^2 = \dfrac{2}{9}\left( {\dfrac{{56}}{{15}} + \dfrac{2}{{15}}} \right) = \dfrac{{116}}{{135}}\\ \Rightarrow a = 116,\,\,b = 135\end{array}\)
Vậy \(135a = 116b\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.