Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác cân, \(AB = AC = a\), \(\angle BAC = {120^0}\), \(BB' = a\). \(I\) là trung điểm của \(CC'\). Tính cosin góc giữa \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {AB'I} \right)\).

Câu 486394: Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác cân, \(AB = AC = a\), \(\angle BAC = {120^0}\), \(BB' = a\). \(I\) là trung điểm của \(CC'\). Tính cosin góc giữa \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {AB'I} \right)\).

A. \(\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\)

B. \(\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\)

C. \(\sqrt {\dfrac{3}{{10}}} \)

D. \(\dfrac{{\sqrt 5 }}{5}\)

Câu hỏi : 486394

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức: \(\cos \alpha = \dfrac{{{S_{hc}}}}{S}\), với \(\alpha \) là góc tạo bởi 2 mặt phẳng. \(S,\,\,{S_{hc}}\) lần lượt là diện tích mặt phẳng và diện tích hình chiếu của nó.

Đáp án : C
(1) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:

Ta có: \(BC = \sqrt {A{C^2} + A{B^2} - 2AC.AB.\cos \angle BAC} = a\sqrt 3 \).

\(\begin{array}{l}AB' = \sqrt {A{B^2} + BB{'^2}} = a\sqrt 2 \\IB' = \sqrt {IC{'^2} + C'B{'^2}} = \sqrt {\dfrac{{{a^2}}}{4} + 3{a^2}} = \dfrac{{a\sqrt {13} }}{2}\\IA = \sqrt {I{C^2} + C{A^2}} = \sqrt {\dfrac{{{a^2}}}{4} + {a^2}} = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}\\ \Rightarrow I{A^2} + AB{'^2} = \dfrac{{5{a^2}}}{5} + 2{a^2} = \dfrac{{13{a^2}}}{4} = IB{'^2}\end{array}\)

\( \Rightarrow \Delta IB'A\) vuông tại A (theo định lí Pytago đảo)

Ta có:

\(\begin{array}{l}{S_{IB'A}} = \dfrac{1}{2}IA.AB' = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}.a\sqrt 2 = \dfrac{{{a^2}\sqrt {10} }}{4}\\{S_{CBA}} = \dfrac{1}{2}AB.AC.\sin \angle BAC = \dfrac{1}{2}{a^2}\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\end{array}\)

Gọi \(\alpha = \angle \left( {\left( {ABC} \right);\left( {AB'I} \right)} \right)\) ta có \(\cos \alpha = \dfrac{{{S_{ABC}}}}{{{S_{AB'I}}}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}:\dfrac{{{a^2}\sqrt {10} }}{4} = \sqrt {\dfrac{3}{{10}}} \).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.