Xét các số thực dương \(x,\,\,y\) thỏa mãn \(\left( {x - 2} \right)\left( {y + 1} \right) = {\log _{\sqrt 2 }}\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \right) + 3x\). Khi \(x + 4y\) đạt giá trị nhỏ nhất, \(\dfrac{x}{y}\) bằng:

Câu 486410: Xét các số thực dương \(x,\,\,y\) thỏa mãn \(\left( {x - 2} \right)\left( {y + 1} \right) = {\log _{\sqrt 2 }}\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \right) + 3x\). Khi \(x + 4y\) đạt giá trị nhỏ nhất, \(\dfrac{x}{y}\) bằng:

A. \(\dfrac{1}{4}\)

B. \(4\)

C. \(2\)

D. \(\dfrac{1}{2}\)

Câu hỏi : 486410

Phương pháp giải:

- Xét hàm đặc trưng.

- Sử dụng BĐT Cô-si.

Đáp án : C
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Ta có
\(\begin{array}{l}\left( {x - 2} \right)\left( {y + 1} \right) = {\log _{\sqrt 2 }}\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \right) + 3x\\ \Leftrightarrow xy - 2y + x - 2 - 3x = {\log _{\sqrt 2 }}\dfrac{{x + y}}{{xy}}\\ \Leftrightarrow {\log _{\sqrt 2 }}\left( {xy} \right) + xy = {\log _{\sqrt 2 }}\left( {x + y} \right) + 2 + 2\left( {x + y} \right)\\ \Leftrightarrow {\log _{\sqrt 2 }}\left( {xy} \right) + xy = {\log _{\sqrt 2 }}\left( {2x + 2y} \right) + \left( {2x + 2y} \right)\end{array}\)
Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\log _{\sqrt 2 }}t + t\,\,\left( {t > 0} \right)\) ta có \(f'\left( t \right) = \dfrac{1}{{t\ln \sqrt 2 }} + 1 > 0\,\,\forall t > 0\) nên hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Mà \(f\left( {xy} \right) = f\left( {2x + 2y} \right)\) nên \(xy = 2x + 2y \Leftrightarrow y\left( {x - 2} \right) = 2x \Leftrightarrow y = \dfrac{{2x}}{{x - 2}}\,\,\left( {x \ne 2} \right)\)
Vì \(x,y > 0 \Rightarrow x - 2 > 0 \Leftrightarrow x > 2\).
Khi đó ta có:
\(\begin{array}{l}x + 4y = x + \dfrac{{8x}}{{x - 2}} = x + 8 + \dfrac{{16}}{{x - 2}} = x - 2 + \dfrac{{16}}{{x - 2}} + 10\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \ge 2\sqrt {\left( {x - 2} \right).\dfrac{{16}}{{x - 2}}} + 10 = 2.4 + 10 = 18\end{array}\)
Dấu “=” xảy ra khi \(x - 2 = \dfrac{{16}}{{x - 2}} \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} = 4 \Leftrightarrow x = 6\) (do \(x > 2\)).
\( \Rightarrow y = \dfrac{{2x}}{{x - 2}} = \dfrac{{2.6}}{{6 - 2}} = 3\).
Vậy \(\dfrac{x}{y} = \dfrac{6}{3} = 2\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.