Trong không gian cho hai điểm \(A\left( {1;2;2} \right)\), \(B\left( {1;1;2} \right)\), mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x + y + z - 2 = 0\). Tìm tọa độ điểm \(M\) thuộc \(\left( P \right)\) sao cho chu vi tam giác \(MAB\) nhỏ nhất.

Câu 492011: Trong không gian cho hai điểm \(A\left( {1;2;2} \right)\), \(B\left( {1;1;2} \right)\), mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x + y + z - 2 = 0\). Tìm tọa độ điểm \(M\) thuộc \(\left( P \right)\) sao cho chu vi tam giác \(MAB\) nhỏ nhất.

A. \(M\left( {0;1;1} \right)\)

B. \(M\left( {\dfrac{1}{5};\dfrac{3}{5};\dfrac{6}{5}} \right)\)

C. \(M\left( { - 1;1;2} \right)\)

D. \(M\left( {1; - 1;2} \right)\)

Câu hỏi : 492011

Đáp án : B
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Ta có \(\left( {{x_A} + {y_A} + {z_A} - 2} \right)\left( {{x_B} + {y_B} + {z_B} - 2} \right) = 3.2 = 6 > 0\) suy ra \(A,\,\,B\) nằm về cùng một phía so với \(\left( P \right)\).

Gọi \(\Delta \) là đường thẳng qua \(A\) và vuông góc với \(\left( P \right)\).

Đường thẳng \(\Delta \) có phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 + t\\z = 2 + t\end{array} \right.\).

Gọi \(H = \Delta \cap \left( P \right)\), tọa độ là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 + t\\z = 2 + t\\x + y + z - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 1\\z = 1\\t = - 1\end{array} \right. \Rightarrow H\left( {0;1;1} \right)\).

Gọi \(A'\) đối xứng với \(A\) qua \(\left( P \right)\), khi đó \(A'\left( { - 1;0;0} \right)\).

Gọi \(I = A'B \cap \left( P \right)\), tọa độ là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 2t\\y = t\\z = 2t\\x + y + z - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{5}\\y = \dfrac{3}{5}\\z = \dfrac{6}{5}\\t = \dfrac{3}{5}\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {\dfrac{1}{5};\dfrac{3}{5};\dfrac{6}{5}} \right)\).

Với mọi điểm \(M\) thuộc \(\left( P \right)\) ta có \(MA + MB \ge MA' + MB \ge A'B\).

Chu vi tam giác \(MAB\) là \(MA + MB + AB \ge A'B + AB\).

Chu vi tam giác \(MAB\) nhỏ nhất bằng \(A'B + AB\) khi \(M \equiv I\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.