Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}2x + 3\,\,\,\,khi\,\,x \ge 1\\3{x^2} + 2\,\,khi\,\,x < 1\end{array} \right.\). Giả sử \(F\) là nguyên hàm của \(f\) trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(F\left( 0 \right) = 2\). Giá trị của \(F\left( { - 1} \right) + 2F\left( 2 \right)\) bằng:

Câu 498758: Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}2x + 3\,\,\,\,khi\,\,x \ge 1\\3{x^2} + 2\,\,khi\,\,x < 1\end{array} \right.\). Giả sử \(F\) là nguyên hàm của \(f\) trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(F\left( 0 \right) = 2\). Giá trị của \(F\left( { - 1} \right) + 2F\left( 2 \right)\) bằng:

A. \(23\)

B. \(11\)

C. \(10\)

D. \(21\)

Câu hỏi : 498758

Đáp án : D
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Dạng bài toán hàm số cho bởi nhiều công thức
Cách 1: Không đi tìm hàm \(F\left( x \right)\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}P = F\left( { - 1} \right) + 2F\left( 2 \right)\\\,\,\,\,\, = \left[ {F\left( { - 1} \right) - F\left( 0 \right)} \right] + 2\left[ {F\left( 2 \right) - F\left( 0 \right)} \right] + 3F\left( 0 \right)\\\,\,\,\,\,\, = \int\limits_0^{ - 1} {f\left( x \right)dx} + 2\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} + 3F\left( 0 \right)\end{array}\)
(Hàm số \(F\left( x \right)\) là hàm số thay đổi công thức tại \(x = 1\), nhưng liên tục tại \(x = 1\), nên việc ta khẳng định \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = F\left( 2 \right) - F\left( 0 \right)\) là hoàn toàn chặt chẽ bản chất và việc phân đoạn tích phân vẫn đúng).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow P = \int\limits_0^{ - 1} {f\left( x \right)dx} + 2\left[ {\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} } \right] + 3.2\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \int\limits_0^{ - 1} {\left( {3{x^2} + 2} \right)dx} + 2\left[ {\int\limits_0^1 {\left( {3{x^2} + 2} \right)dx} + \int\limits_1^2 {\left( {2x + 3} \right)dx} } \right] + 6\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 21\end{array}\)
Cách 2: Tìm hàm \(F\left( x \right)\).
\(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}2x + 3\\3{x^2} + 2\end{array} \right. \Rightarrow F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 3x + {C_1}\,\,khi\,\,x \ge 1\\{x^3} + 2x + {C_2}\,\,khi\,\,x < 1\end{array} \right.\).
+ Vì \(F\left( 0 \right) = 2 \Rightarrow {0^3} + 2.0 + {C_2} = 2 \Leftrightarrow {C_2} = 2\).
+ Theo giả thiết, \(F\left( x \right)\) là hàm số tồn tại đạo hàm trên \(\mathbb{R}\).
\( \Rightarrow F\left( x \right)\) tồn tại đạo hàm tại \(x = 1 \Rightarrow F\left( x \right)\) liên tục tại \(x = 1\).
\( \Rightarrow F\left( {{1^ + }} \right) = F\left( {{1^ - }} \right) = F\left( 1 \right) \Rightarrow 1 + 3 + {C_1} = 1 + 2 + {C_2}\) \( \Rightarrow {C_1} = - 1 + {C_2} = 1\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow F\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 3x + 1\,\,khi\,\,x \ge 1\\{x^3} + 2x + 2\,\,khi\,\,x < 1\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}F\left( { - 1} \right) = {\left( { - 1} \right)^3} + 2.\left( { - 1} \right) + 2 = - 1\\F\left( 2 \right) = {2^2} + 3.2 + 1 = 11\end{array} \right.\\ \Rightarrow P = F\left( { - 1} \right) + 2F\left( 2 \right) = - 1 + 2.11 = 21\end{array}\)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.