Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thoi tâm \(O\), tam giác \(ABD\) đều cạnh \(a\sqrt 2 \). \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SA = \dfrac{{3\sqrt 2 }}{2}a\). Hãy tính góc giữa đường thẳng \(SO\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\).

Câu 527279: Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thoi tâm \(O\), tam giác \(ABD\) đều cạnh \(a\sqrt 2 \). \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SA = \dfrac{{3\sqrt 2 }}{2}a\). Hãy tính góc giữa đường thẳng \(SO\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\).

A. \({45^0}\)

B. \({30^0}\)

C. \({60^0}\)

D. \({90^0}\)

Câu hỏi : 527279

Quảng cáo

Phương pháp giải:

+ Xác định giao điểm của đường thẳng \(SO\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\).

+ Tìm hình chiếu của điểm còn lại thuộc đường thẳng trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\).

\( \Rightarrow \) Hình chiếu \(d\) của đường thẳng \(SO\) trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\)

+ \(\angle \left[ {SO;\left( {ABCD} \right)} \right] = \angle \left( {SO;d} \right)\)

+ Vận dụng kĩ năng tính toán tính được góc cần tìm.

Đáp án : C
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}SO \cap \left( {ABCD} \right) = \left\{ O \right\}\\SA \bot \left( {ABCD} \right)\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \) Hình chiếu của \(SO\) trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là \(AO\)
Khi đó, \(\angle \left[ {SO;\left( {ABCD} \right)} \right] = \angle \left( {SO;AO} \right) = \angle SOA\)
\(ABCD\) là hình thoi có tâm \(O\) nên \(O\) là trung điểm của \(BD\)
Tam giác \(ABD\) đều có \(O\) là trung điểm của \(BD\) nên \(AO\) là đường cao
\( \Rightarrow AO = a\sqrt 2 .\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}\)
Ta có: \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot AC \Rightarrow \Delta SAO\) vuông tại \(A\)
\( \Rightarrow \tan \angle SAO = \dfrac{{SA}}{{AO}} = \dfrac{{3\sqrt 2 a}}{2}:\dfrac{{a\sqrt 6 }}{2} = \sqrt 3 \) (tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông)
\( \Rightarrow \angle SAO = {60^0}\)
Vậy giữa đường thẳng \(SO\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) bằng \({60^0}\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.