Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} = 3\). Một mặt phẳng (P) tiếp xúc mặt cầu và cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C và thỏa mãn \(O{A^2} + O{B^2} + O{C^2} = 27\). Diện tích tam giác ABC là

Câu 547237: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} = 3\). Một mặt phẳng (P) tiếp xúc mặt cầu và cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C và thỏa mãn \(O{A^2} + O{B^2} + O{C^2} = 27\). Diện tích tam giác ABC là

A. \(9\sqrt 3 \)

B. \(\dfrac{{9\sqrt 3 }}{2}\)

C. \(\dfrac{{3\sqrt 3 }}{2}\)

D. \(3\sqrt 3 \)

Câu hỏi : 547237

Quảng cáo

Phương pháp giải:

Viết phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn.

Áp dụng BĐT Cô–si để giải quyết hệ ba ẩn.

Từ đó tính ra cạnh tam giác đều ABC.

Đáp án : B
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(O\left( {0;0;0} \right)\), bán kính \(R = \sqrt 3 \).
Giả sử \(\left( P \right):\,\,\,\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{c} = 1\) với \(a > 0,\,\,b > 0,\,\,c > 0\). Mặt phẳng thỏa mãn đề bài khi và chỉ khi
\(\left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} + {c^2} = 27\\\dfrac{1}{{\sqrt {\dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{b^2}}} + \dfrac{1}{{{c^2}}}} }} = \sqrt 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} + {c^2} = 27\\\dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{b^2}}} + \dfrac{1}{{{c^2}}} = \dfrac{1}{3}\end{array} \right.\,\,{\rm{ }}\left( I \right)\)
Áp dụng BĐT Cô–si cho 3 số dương, ta có
\(\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\left( {\dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{b^2}}} + \dfrac{1}{{{c^2}}}} \right) \ge 3\sqrt[3]{{{a^2}{b^2}{c^2}}}.3\sqrt[3]{{\dfrac{1}{{{a^2}{b^2}{c^2}}}}} = 9\).
Dấu “=” xảy ra khi \({a^2} = {b^2} = {c^2}\).
Do đó hệ \(\left( I \right) \Leftrightarrow {a^2} = {b^2} = {c^2} = 9 \Leftrightarrow a = b = c = 3\).
\( \Rightarrow A\left( {3;0;0} \right),\,\,B\left( {0;3;0} \right),\,\,C\left( {0;0;3} \right)\). Khi đó tam giác ABC đều và \(AB = 3\sqrt 2 \).
Vậy \({S_{ABC}} = \dfrac{{A{B^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{9\sqrt 3 }}{2}\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.